48. Геометрическое место точек

Определения и обозначения

Геометрическое место точек — это множество всех точек, которые обладают заданным свойством. Например, условие может требовать, чтобы расстояния от точки до двух других точек были равны. Каждая точка описываемого множества обязана удовлетворять этому условию, а не только некоторые его точки. Понятие помогает заменять длинное описание точек простой геометрической фигурой.

Точка равноудалена от двух заданных точек, если расстояния от неё до обеих точек равны. Если это точки A и B, то для точки X условие записывают так: XA = XB. Такое обозначение позволяет точно сформулировать свойство и связать его с уже известной линией. В частности, для концов одного отрезка этой линией будет серединный перпендикуляр.

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. Она делит отрезок на две равные части и образует с ним прямой угол. Точки этой прямой равноудалены от концов отрезка. Поэтому, когда условие задачи требует равных расстояний до концов, можно искать точку на серединном перпендикуляре.

Биссектриса угла — луч, выходящий из вершины и делящий угол на два равных угла. Точки внутри угла, лежащие на его биссектрисе, равноудалены от сторон угла. Здесь расстоянием до стороны считают длину перпендикуляра от точки до прямой, содержащей эту сторону. Это определение помогает свести условие о двух расстояниях к поиску точки на биссектрисе.

Как это устроено

Чтобы линия действительно описывала геометрическое место точек, нужно доказать два утверждения. Сначала показывают, что каждая точка на линии обладает заданным свойством. Затем доказывают обратное: всякая точка, которая обладает свойством, лежит на этой линии. Если пропустить вторую часть, может выясниться, что построенная линия подходит, но существуют и другие подходящие точки. Только оба направления подтверждают, что найдено всё множество и ничего лишнего.

Пусть X равноудалена от концов отрезка AB, то есть XA = XB. Тогда треугольник AXB равнобедренный, а его основание — AB. В равнобедренном треугольнике перпендикуляр, проведённый из вершины X к основанию, делит основание пополам. Значит, X лежит на прямой, проходящей через середину AB перпендикулярно AB, то есть на серединном перпендикуляре; этим объясняется, почему все точки с нужным свойством находятся на одной прямой.

Теперь проверим обратное направление. Возьмём точку X на серединном перпендикуляре к AB и обозначим середину отрезка через M. Прямоугольные треугольники AMX и BMX имеют AM = BM, общий катет MX и равные прямые углы при M, поэтому они равны. Из равенства треугольников следует XA = XB. Значит, любая точка серединного перпендикуляра подходит, и прямая содержит ровно все точки, равноудалённые от A и B.

Для точки внутри угла расстояние до каждой стороны измеряют по перпендикуляру. Если перпендикулярные отрезки к сторонам равны, то получаются прямоугольные треугольники с общей гипотенузой — отрезком от вершины угла до данной точки. Эти треугольники равны, поэтому точка одинаково расположена относительно двух сторон и лежит на биссектрисе. Обратно, точка биссектрисы образует равные углы с обеими сторонами, поэтому её перпендикулярные расстояния до сторон равны.

Если точка должна удовлетворять двум условиям сразу, каждому условию соответствует своё геометрическое место. Постройте обе линии: например, серединный перпендикуляр для равных расстояний до двух точек и биссектрису для равных расстояний до сторон угла. Общая точка линий удовлетворяет обоим условиям одновременно. Перед записью ответа проверьте, что пересечение существует и найденная точка принадлежит нужной части фигуры, например находится внутри угла.

Геометрические места точек, заданные условием равноудалённости

Чтобы пользоваться таблицей, сначала выделите условие задачи и определите, какие именно расстояния сравниваются. Затем выберите соответствующую линию и учтите уточнения в последнем столбце. Если условий несколько, постройте линии для каждого из них и ищите общую точку.

Разбор задач

Задача 1. Даны точки A и B. Постройте геометрическое место точек, равноудалённых от A и B. Нужно найти не одну подходящую точку, а все такие точки. Поэтому построим линию и проверим, что она содержит ровно точки с требуемым свойством.

1. Соедините A и B отрезком AB.
2. Постройте середину M отрезка AB.
3. Проведите через M прямую, перпендикулярную AB. Это серединный перпендикуляр.
4. По свойству серединного перпендикуляра любая его точка равноудалена от A и B. Обратно, если XA = XB, то X лежит на этом перпендикуляре, поэтому других подходящих точек нет.

Ответ: серединный перпендикуляр к AB. Обе части проверки показывают, что построенная прямая содержит все и только точки, равноудалённые от концов отрезка.

Задача 2. Внутри угла постройте точку, равноудалённую от его сторон и лежащую на заданной прямой. Одно условие задаёт биссектрису угла, второе — данную прямую. Значит, вместо перебора точек достаточно найти место, где эти линии пересекаются.

1. Постройте биссектрису данного угла.
2. Найдите точку пересечения биссектрисы с заданной прямой.
3. Проверьте, что найденная точка находится внутри угла. Для точки на биссектрисе перпендикулярные расстояния до сторон равны.

Ответ: точка пересечения биссектрисы и заданной прямой, если пересечение лежит внутри угла. Если линии не пересекаются внутри угла, подходящей точки нет.

Задача 3. Постройте точку, равноудалённую от двух заданных точек A и B и от сторон заданного угла. Здесь требуется одновременно выполнить два условия равноудалённости. Каждое из них задаёт своё геометрическое место, поэтому их пересечение будет кандидатом на ответ.

1. Постройте серединный перпендикуляр к AB: любая его точка равноудалена от A и B.
2. Постройте биссектрису угла: её точки внутри угла равноудалены от его сторон.
3. Найдите пересечение построенных линий и убедитесь, что оно лежит внутри угла.
4. Проверьте оба условия отдельно: равенство расстояний до A и B, а также равенство перпендикулярных расстояний до сторон.

Ответ: точка пересечения серединного перпендикуляра и биссектрисы, если она лежит внутри угла. Каждая линия обеспечивает своё условие, а потому точка на их пересечении удовлетворяет обоим.

Типичные ошибки

Иногда доказывают только, что точки на построенной линии подходят, и на этом останавливаются. Так делают, потому что первая проверка кажется достаточной, но она не исключает существования подходящих точек вне линии. Для проверки спросите себя: доказано ли, что любая точка с заданным свойством обязательно лежит на построенной линии?

Равноудалённость от концов отрезка иногда ошибочно понимают как нахождение точки на самом отрезке. Вероятно, путают отрезок с прямой, которая делит его пополам, но равные расстояния задают серединный перпендикуляр, а не сам отрезок. Проверьте построение: искомая прямая должна проходить через середину отрезка под прямым углом.

Расстояние от точки до стороны угла могут измерять по наклонному отрезку. Такой отрезок длиннее перпендикуляра и не показывает расстояние от точки до прямой. Чтобы проверить себя, проведите к стороне перпендикуляр и используйте именно его длину.

Ещё одна ошибка — назвать всю прямую биссектрисой геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон заданного угла, не уточняя, какие точки рассматриваются. В условии речь идёт о точках внутри угла, а противоположные части прямой лежат вне него. Проверяйте, что ответ относится к внутреннему углу и его биссектрисе, а не к точкам за его пределами.

Связь с другими темами

Для работы с геометрическим местом точек нужно знать, что такое отрезок и его середина, перпендикулярные прямые, угол и биссектриса. Также необходимо помнить, что расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру. Эти определения позволяют понять, почему конкретная линия связана с условием равноудалённости.

Идея геометрического места помогает в задачах на построение: условие переводят в линию, а несколько условий — в несколько линий. Их пересечение указывает на точку, которая удовлетворяет всем требованиям. Такой подход упорядочивает поиск и помогает обосновать, почему других ответов нет.

Что запомнить

• Геометрическое место точек — все точки, обладающие заданным свойством.
• Для описания геометрического места доказывают прямое и обратное утверждения.
• Точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре.
• Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.
• Точки внутри угла, равноудалённые от его сторон, лежат на биссектрисе.
• Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
• При двух условиях искомые точки находят как пересечения соответствующих геометрических мест.