"Геометрия", Погорелов А.В.
Перпендикулярная прямая пересекает другую прямую под прямым углом. Такое построение нужно, чтобы точно провести перпендикуляр через заданную точку, а не выбирать направление на глаз. Для этого циркулем находят две точки, равноудалённые от концов отрезка, и проводят через них серединный перпендикуляр. Метод работает и тогда, когда заданная точка лежит на прямой, и тогда, когда она находится вне её.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перпендикулярными называют пересекающиеся прямые, которые образуют прямой угол. Прямой угол равен 90°. Это понятие помогает точно описать, как должны располагаться две прямые, и отличить перпендикуляр от просто наклонной линии.
Перпендикуляр к прямой — это прямая, которая проходит через заданную точку и перпендикулярна данной прямой. Заданная точка может находиться как на прямой, так и вне её. Такое определение показывает, что при построении нужно выполнить сразу два условия: провести линию через нужное место и получить прямой угол.
Перпендикуляром, опущенным из точки на прямую, называют отрезок, который соединяет эту точку с прямой и расположен перпендикулярно ей. Он начинается в заданной точке и заканчивается на прямой. Это понятие удобно, когда нужно обозначить не всю перпендикулярную прямую, а только путь от точки до прямой.
Основанием перпендикуляра называют точку, в которой перпендикуляр пересекает данную прямую. Например, если из точки P проведён перпендикуляр к прямой l и он встретил её в точке H, то H — основание перпендикуляра. Так можно отдельно назвать место, куда опущен перпендикуляр.
Задача построения состоит в том, чтобы через заданную точку провести прямую, перпендикулярную данной, пользуясь циркулем и линейкой. Линейка помогает проводить прямые, а циркуль — отмечать равные расстояния. Сначала удобно получить отрезок, для которого заданная точка будет серединой, а затем построить к нему серединный перпендикуляр. Такой выбор превращает задачу о прямом угле в знакомое построение.
Если заданная точка P лежит на прямой, отметьте на ней точки A и B по разные стороны от P так, чтобы PA = PB. Это означает, что отрезок AB разделён точкой P на две равные части, то есть P — его середина. Равенство расстояний можно получить циркулем: один и тот же радиус откладывают от P в обе стороны. Теперь достаточно построить серединный перпендикуляр к AB: он пройдёт через середину P.
Чтобы построить серединный перпендикуляр к отрезку AB, поставьте ножку циркуля сначала в A, затем в B и проведите дуги одинакового радиуса. Радиус выбирают больше половины AB, чтобы дуги пересеклись в двух точках, например C и D. Точки C и D равноудалены от A и B: это следует из одинаковой ширины раскрытия циркуля. Проведите линейкой прямую через C и D.
Почему эта прямая перпендикулярна AB? Равенства CA = CB и DA = DB означают, что C и D равноудалены от концов отрезка; значит, обе точки лежат на серединном перпендикуляре к AB. Прямая CD и есть этот серединный перпендикуляр: она проходит через середину AB и образует с ним прямой угол. Поэтому при построении на прямой, где P — середина AB, прямая CD проходит через P и перпендикулярна исходной прямой.
Если заданная точка P находится вне прямой, сделайте её центром окружности, которая пересечёт прямую в двух точках A и B. Подходящий радиус можно взять достаточно большим, чтобы окружность встретила прямую по обе стороны от точки, ближайшей к P. Тогда PA = PB, поскольку это радиусы одной окружности. Постройте серединный перпендикуляр к AB: он пройдёт через P, так как P равноудалена от концов отрезка, и будет перпендикулярен исходной прямой, на которой лежат A и B.
| Случай | Построение | Почему результат верен |
|---|---|---|
| Точка лежит на данной прямой | Отметить на прямой точки A и B по разные стороны от заданной точки P так, чтобы PA = PB. Построить серединный перпендикуляр к AB. | P — середина AB, поэтому серединный перпендикуляр проходит через P и образует с исходной прямой прямой угол. |
| Точка не лежит на данной прямой | Провести окружность с центром P, пересекающую прямую в точках A и B. Построить серединный перпендикуляр к AB. | PA = PB, поэтому P лежит на серединном перпендикуляре к AB. Отрезок AB лежит на данной прямой. |
| Общее основание: построение серединного перпендикуляра к отрезку | Из концов отрезка провести дуги равного радиуса, большего половины отрезка. Линейкой соединить две точки пересечения дуг. | Точки пересечения дуг равноудалены от концов отрезка. Прямая через них проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. |
| Проверка результата: прямая проходит через заданную точку и образует с данной прямой прямой угол | Проверить, что построенная прямая проходит через заданную точку, а её пересечение с исходной прямой образует прямой угол. | Первое условие проверяет, что проведён перпендикуляр именно через нужную точку. Второе подтверждает перпендикулярность прямых. |
Сначала выберите строку, соответствующую положению заданной точки, и выполните описанное построение. В обоих случаях ключевой шаг один: построить серединный перпендикуляр к отрезку, лежащему на исходной прямой. В конце проверьте, что новая прямая проходит через заданную точку и образует с исходной прямой прямой угол.
Условие. Дана прямая и точка P на ней. Нужно построить через P перпендикуляр к прямой. Поскольку P уже лежит на прямой, отметим на ней равные отрезки по обе стороны от P: тогда P станет серединой отрезка, к которому удобно применить построение серединного перпендикуляра.
Ответ. Прямая CD — искомый перпендикуляр. Он проходит через заданную точку P, а отрезок AB лежит на исходной прямой, поэтому CD перпендикулярна исходной прямой.
Условие. Даны прямая и точка P вне её. Требуется провести через P перпендикуляр к прямой. Чтобы получить отрезок на исходной прямой, концы которого равноудалены от P, используем окружность с центром в P.
Ответ. Построенная прямая проходит через P, потому что P равноудалена от A и B и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре к AB. Она перпендикулярна AB, а AB лежит на исходной прямой, значит, получен искомый перпендикуляр.
Условие. Выполнено построение перпендикуляра из точки P вне прямой. Нужно доказать, что результат проходит через P и перпендикулярен исходной прямой. Для доказательства достаточно установить, почему центр окружности лежит на построенной линии и как эта линия связана с отрезком на исходной прямой.
Ответ. Построенная прямая проходит через заданную точку P и образует прямой угол с исходной прямой. Оба требуемых свойства доказаны построением и равенством радиусов.
Проводить перпендикуляр «на глаз» недостаточно: направление может казаться прямым, но угол не обязательно равен 90°. Так ошибаются, когда пытаются обойтись без циркуля и обоснования. Проверьте себя: есть ли построение, которое гарантирует прохождение через заданную точку и прямой угол?
Если радиус дуг меньше половины отрезка, дуги не пересекутся, и провести через две точки прямую будет невозможно. Обычно радиус выбирают слишком маленьким, забывая о длине отрезка. Проверьте, что он больше половины отрезка, и используйте одинаковое раскрытие циркуля для обеих дуг.
Окружность с центром в точке вне прямой должна пересечь прямую дважды. Если она касается прямой, будет только одна точка, а отрезок-хорда не получится. Выберите радиус так, чтобы окружность пересекала прямую в двух точках, и убедитесь, что на ней можно отметить оба конца хорды.
Прямая через заданную точку и только одну точку пересечения дуг не задаёт построенный серединный перпендикуляр. Эту ошибку допускают, если забывают, что дуги дают две точки, через которые надо провести линию. Проверьте, что линейка соединяет обе точки пересечения дуг.
Для построения понадобятся умения пользоваться циркулем и линейкой, проводить окружность и откладывать равные отрезки. Обоснование опирается на свойства равнобедренного треугольника и серединного перпендикуляра к отрезку: равноудалённые от концов точки лежат на нём. Этот способ пригодится при построении высот треугольника и перпендикуляров к прямым. Он также помогает решать другие задачи на геометрические построения.
Как построить перпендикуляр к прямой через точку на ней?
Отметьте на прямой две точки, равноудалённые от заданной, по разные стороны от неё. Из этих точек проведите дуги одинакового радиуса, большего половины расстояния между ними. Прямая через точки пересечения дуг будет перпендикулярна исходной и пройдёт через заданную точку.
Как провести перпендикуляр через точку, которая не лежит на прямой?
Возьмите заданную точку центром окружности, которая пересекает прямую в двух точках. Эти точки образуют концы отрезка, к которому нужно построить серединный перпендикуляр. Он пройдёт через центр окружности, то есть через заданную точку, и будет перпендикулярен исходной прямой.
Почему точку вне прямой берут центром окружности?
Точки пересечения окружности с прямой находятся на одинаковом расстоянии от её центра. Значит, центр равноудалён от концов полученного отрезка и лежит на его серединном перпендикуляре. Поэтому построенная прямая пройдёт через заданную точку.
Почему прямая через точки пересечения дуг перпендикулярна исходной прямой?
Каждая точка пересечения равных дуг равноудалена от концов исходного отрезка. Такие точки лежат на серединном перпендикуляре к отрезку. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка под прямым углом, поэтому он перпендикулярен исходной прямой.
Что делать, если дуги при построении не пересекаются?
Проверьте, достаточно ли велик радиус: для построения серединного перпендикуляра он должен быть больше половины отрезка. Если дуги не встретились, увеличьте радиус, сохранив его одинаковым для обеих дуг. Затем повторите построение.
47. Построение перпендикулярной прямой
