46. Деление отрезка пополам

Определения и обозначения

Середина отрезка — это точка отрезка, которая делит его на два равных отрезка. Например, если M — середина AB, то AM = MB. Это определение позволяет точно понять, какую точку требуется построить: она должна лежать на отрезке и быть одинаково удалена от его концов.

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, которая проходит через его середину и перпендикулярна ему. Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом. Эта прямая нужна при построении середины: достаточно найти её, а затем отметить место пересечения с отрезком.

Разделить отрезок пополам — значит построить его середину, не определяя длину линейкой. Для этого используют циркуль и линейку: циркуль задаёт равные расстояния, а линейкой проводят прямые. Такой способ особенно полезен, когда измерение неудобно или требуется точное геометрическое построение.

Как это устроено

Чтобы построить середину, сначала нужно найти прямую, на которой лежат все подходящие точки — равноудалённые от концов отрезка. Такая прямая проходит через середину и образует с отрезком прямой угол. Поэтому достаточно построить две точки с одинаковыми расстояниями до концов, а затем провести через них прямую.

Обозначим концы отрезка A и B. Поставим иглу циркуля в A и проведём дугу, затем, не меняя раствора, поставим её в B и проведём вторую дугу. Радиус выбирают больше половины AB: при меньшем радиусе дуги не достигнут друг друга и точки пересечения не появятся. Одинаковый раствор нужен, чтобы дуги задавали равные расстояния от обоих концов.

Дуги пересекутся в двух точках, расположенных по разные стороны от отрезка. Обозначим их P и Q и проведём через них прямую. Для обеих точек выполняются равенства PA = PB и QA = QB, потому что соответствующие расстояния являются радиусами равных дуг. Значит, P и Q равноудалены от A и B.

Если соединить P с A и B, получится равнобедренный треугольник PAB: его боковые стороны равны. Точка Q также равноудалена от A и B, поэтому обе точки P и Q лежат на серединном перпендикуляре к AB. Прямая, проходящая через P и Q, и есть этот перпендикуляр: она пересекает AB под прямым углом и делит его пополам.

Обозначим пересечение построенной прямой с отрезком AB через M. Так как прямая является серединным перпендикуляром, M лежит на AB и является его серединой. Следовательно, AM = MB. Так мы получаем нужную точку построением, а не измерением длины отрезка.

Этапы деления отрезка пополам

Пользуйтесь таблицей по порядку: каждый этап опирается на предыдущий. В обосновании проверяйте не только, что нужная точка найдена, но и почему она обладает требуемым свойством. Если дуги не пересеклись, вернитесь к выбору радиуса.

Разбор задач

Задача 1. Дан отрезок AB. Постройте его середину циркулем и линейкой.

Нужно получить точку на AB, равноудалённую от A и B. Для этого построим две точки, для которых расстояния до обоих концов равны, и проведём через них прямую. Она пересечёт отрезок в искомой точке.

1. Выберите раствор циркуля больше половины AB. Из центра A проведите дугу, затем из центра B проведите дугу тем же раствором.
2. Обозначьте точки пересечения дуг P и Q. Проверьте, что циркуль не раскрывался и не сжимался между построениями.
3. Проведите прямую PQ и обозначьте её пересечение с AB буквой M. Поскольку PQ — серединный перпендикуляр, AM = MB.

Ответ: точка M — середина отрезка AB. Измерять отрезок линейкой для этого не требуется.

Задача 2. На чертеже построен отрезок AB и прямая через точки пересечения равных дуг. Объясните, почему эта прямая делит AB пополам.

Недостаточно заметить, что прямая пересекает отрезок: нужно обосновать, что пересечение происходит именно в середине. Пусть дуги пересеклись в точках P и Q, а проведённая через них прямая пересекла AB в M. Используем свойства построения и серединного перпендикуляра.

1. Так как радиусы дуг одинаковы, PA = PB и QA = QB. Обе точки равноудалены от A и B.
2. Следовательно, прямая PQ является серединным перпендикуляром к AB: она проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.
3. Точка M лежит на AB и на серединном перпендикуляре. Поэтому она является серединой, то есть AM = MB.

Ответ: прямая делит AB пополам, потому что точки пересечения равных дуг задают серединный перпендикуляр к отрезку.

Задача 3. Постройте середину отрезка CD, если радиус циркуля выбран меньше половины CD. Объясните, почему построение не удаётся, и укажите, как исправить выбор.

Построение начинается с дуг, поэтому сначала проверим, могут ли они пересечься. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, дуги не встречаются. Здесь оба радиуса меньше половины CD, значит, их сумма меньше CD.

1. Проведите дугу из C выбранным радиусом, а затем такую же дугу из D. Из-за слишком малого радиуса общей точки у дуг не будет.
2. Не отмечайте несуществующие точки пересечения и не проводите через них прямую. Без этих точек нельзя построить нужный серединный перпендикуляр данным способом.
3. Увеличьте раствор циркуля так, чтобы он стал больше половины CD. Повторите построение дуг из C и D, не меняя новый раствор.

Ответ: первоначальное построение не удаётся, потому что дуги не пересекаются. Нужно выбрать одинаковый радиус больше половины CD.

Типичные ошибки

Слишком маленький радиус. Если радиус меньше половины отрезка, дуги не пересекутся, и отметить две нужные точки будет невозможно. Эту ошибку допускают, когда выбирают раствор на глаз и не проверяют расстояние между концами. Убедитесь, что дуги действительно пересеклись; если нет, увеличьте радиус.

Изменение раствора циркуля. Если при построении второй дуги раскрыть или сжать циркуль, расстояния до концов могут оказаться разными. Иногда это делают, чтобы дуги «лучше сошлись», но равенство радиусов тогда теряется. Перед проведением второй дуги проверьте, что раствор не изменился.

Прямая проведена не через те точки. Если соединить конец отрезка с точкой пересечения дуг, получится другая прямая, и она не обязана делить отрезок пополам. Ошибку помогает заметить проверка: нужны именно обе точки, где пересеклись дуги. Проведите прямую через них и только затем отметьте её пересечение с исходным отрезком.

Середину считают найденной без обоснования. Одного пересечения прямой с отрезком недостаточно, чтобы утверждать, что отрезок разделён пополам. Нужно сначала показать, что прямая через точки пересечения дуг — серединный перпендикуляр. Проверьте равенство расстояний от каждой из этих точек до концов отрезка.

Связь с другими темами

Для построения нужны умения пользоваться циркулем и линейкой, распознавать равные отрезки и знать, что значит перпендикулярность прямых. Без этих представлений не получится ни задать одинаковые радиусы, ни объяснить результат. Построенный серединный перпендикуляр пригодится, когда требуется найти точку, равноудалённую от двух заданных точек. Он также используется в задачах на построение треугольников.

Что запомнить

• Середина делит отрезок на два равных отрезка.
• Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и перпендикулярен ему.
• Для построения середины проводят дуги одинакового радиуса из концов отрезка.
• Радиус дуг должен быть больше половины отрезка.
• Прямая через точки пересечения дуг является серединным перпендикуляром.
• Пересечение этой прямой с отрезком — его середина.