45. Построение биссектрисы угла

Определения и обозначения

Биссектриса угла — луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Например, если луч BF делит угол ABC, то углы ABF и FBC равны. Это понятие помогает точно описать положение луча внутри угла и отличить биссектрису от любого другого луча.

Построение биссектрисы угла — последовательность действий с циркулем и линейкой, позволяющая получить луч-биссектрису. При таком построении не измеряют углы транспортиром, а создают равные отрезки. Это нужно, чтобы результат можно было обосновать геометрически.

Дуга окружности — часть окружности, которую используют, чтобы отметить точки на сторонах угла или найти точку пересечения построенных линий. Дуга проводится циркулем с выбранным центром и радиусом. Она помогает переносить расстояния без измерительной шкалы.

Равные отрезки — отрезки одинаковой длины; при построении их получают одним и тем же раствором циркуля. Если центры окружностей лежат в разных точках, но раствор циркуля один, расстояния от каждого центра до точки на соответствующей дуге равны. Это свойство понадобится для доказательства правильности построения.

Как это устроено

Сначала дугу проводят с центром в вершине угла. Она пересекает обе его стороны, например, в точках D и E. Отрезки BD и BE — радиусы одной окружности, поэтому они равны. Так мы получаем две точки на сторонах угла, одинаково удалённые от вершины, и можем сравнить части угла по обе стороны от будущей биссектрисы.

Теперь D и E становятся центрами двух новых дуг. Их проводят одним и тем же раствором циркуля, чтобы расстояния от D и E до точки пересечения F были равны: DF = EF. Если дуги пересекаются в нескольких точках, для построения подходит любая из них; обычно выбирают точку внутри угла. Равные расстояния нужны, чтобы получить равные стороны двух треугольников.

Соединим вершину B с точкой F и рассмотрим треугольники DBF и EBF. У них BD = BE, потому что это радиусы первой окружности; DF = EF, потому что последние дуги построены одним раствором. Сторона BF у треугольников общая. Значит, треугольники равны по трём сторонам.

В равных треугольниках соответствующие углы равны, поэтому угол DBF равен углу FBE. Точка D лежит на стороне BA, а E — на стороне BC, значит, эти углы составляют части исходного угла ABC. Луч BF выходит из его вершины и делит угол на две равные части, то есть является биссектрисой. Доказательство объясняет, почему важны все три набора равных отрезков, а не только вид чертежа.

Порядок действий такой: отметить точки на сторонах угла первой дугой с центром в вершине, из этих точек провести две равные дуги, а затем соединить вершину с точкой их пересечения. Первую дугу выбирают так, чтобы она пересекла обе стороны; последующие дуги строят одним раствором циркуля. В конце проверяют построение рассуждением о равенстве треугольников.

Этапы построения биссектрисы угла

Таблица показывает не только последовательность действий, но и смысл каждого шага. Выполняй их по порядку, не меняя раствор циркуля там, где нужны равные радиусы. В последнем столбце указано, на каком геометрическом свойстве основано действие.

Разбор задач

Задача 1. Дан угол ABC. Построить его биссектрису циркулем и линейкой.

Нужно получить луч из вершины B, который делит угол на две равные части. Для этого сначала создадим равные отрезки на сторонах угла, а затем найдём точку, равноудалённую от их концов. Так появятся два треугольника, равенство которых подтвердит результат.

1. Поставим иглу циркуля в B и проведём дугу, пересекающую BA и BC в точках D и E. Радиус выберем так, чтобы дуга достигла обеих сторон.
2. Не меняя раствор циркуля, поставим иглу сначала в D, затем в E и проведём две дуги. Обозначим их точку пересечения внутри угла буквой F.
3. Линейкой проведём луч BF. Полученные треугольники DBF и EBF имеют равные стороны BD и BE, равные DF и EF, а также общую сторону BF.

По трём сторонам треугольники DBF и EBF равны. Следовательно, углы DBF и FBE равны, поэтому луч BF делит угол ABC пополам.

Задача 2. Построение уже выполнено, но не объяснено, почему луч делит угол пополам.

Одного чертежа недостаточно: на глаз нельзя надёжно установить, равны ли углы. Нужно назвать равные отрезки и применить признак равенства треугольников по трём сторонам. Обозначим вершину угла B, точки на его сторонах D и E, а пересечение последних дуг F.

1. Так как D и E лежат на первой дуге с центром B, BD = BE.
2. Дуги из D и E имеют один радиус, поэтому DF = EF. Кроме того, BF — общая сторона треугольников DBF и EBF.
3. По трём сторонам треугольники DBF и EBF равны. Значит, соответствующие углы DBF и FBE равны.

Точки D и E лежат на сторонах исходного угла, поэтому названные углы составляют его части. Следовательно, луч BF является биссектрисой. Равенство треугольников — обоснование, а не предположение, сделанное по рисунку.

Задача 3. Первая дуга пересекает только одну сторону угла. Как исправить построение?

Если дуга с центром в B не достигает обеих сторон, нельзя получить две точки D и E, одинаково удалённые от вершины. Значит, дальнейшие шаги ещё не задают нужную пару треугольников. Исправлять нужно выбор радиуса первой дуги, а не пытаться продолжать построение с одной точкой.

1. Поставим циркуль в вершину угла B и увеличим его раствор.
2. Проведём новую дугу так, чтобы она пересекла обе стороны угла. На их пересечениях отметим точки D и E.
3. Из D и E проведём дуги одинакового радиуса до пересечения в точке F, затем соединим B и F.

Теперь BD и BE равны как радиусы первой окружности, а DF и EF равны из-за одинакового раствора циркуля. Вместе с общей стороной BF это даёт равенство треугольников DBF и EBF по трём сторонам. Значит, луч BF — построенная биссектриса угла.

Типичные ошибки

Разные растворы циркуля для двух последних дуг. Тогда радиусы могут отличаться, и равенство DF = EF уже не обеспечивается. Так ошибаются, случайно сдвинув подвижную часть циркуля между проведениями. Проверь, что игла стояла в D и E, а раствор не менялся; при сомнении повтори обе дуги.

Вершину соединяют с точкой на стороне угла, а не с пересечением дуг. Такая точка обычно не равноудалена от D и E, поэтому равенство треугольников доказать нельзя. Ошибка возникает, когда принимают одну из отметок первой дуги за конечную точку построения. Проверь: луч должен проходить через вершину и F — место пересечения двух последних дуг.

Первая дуга пересекает только одну сторону угла. В этом случае есть лишь одна отметка, а для построения нужны точки на обеих сторонах. Это случается, если взять слишком маленький радиус. Увеличь раствор циркуля и проведи дугу заново так, чтобы она пересекла обе стороны.

Любой луч внутри угла считают биссектрисой. Луч может выходить из вершины, но делить угол на неравные части. Такая ошибка появляется, если судить только по внешнему виду чертежа. Проверь построение доказательством: треугольники по обе стороны луча должны быть равны по трём сторонам, а соответствующие углы — равны.

Связь с другими темами

Для построения нужны понятия угла, его вершины и сторон, а также умение распознавать равные отрезки и равные треугольники. Оно связано с построением перпендикуляра и середины отрезка: там тоже используют циркуль и пересечение дуг, чтобы найти точки с заданными расстояниями. Это проявление идеи геометрического места точек — множества точек, которые удовлетворяют одному условию, например находятся на одинаковом расстоянии от двух заданных точек. Биссектриса пригодится при построении треугольников, решении задач на равенство углов и изучении свойств треугольника.

Что запомнить

• Биссектриса — луч, делящий угол на два равных угла.
• Первая дуга проводится с центром в вершине угла.
• Точки пересечения первой дуги со сторонами угла равноудалены от его вершины.
• Две следующие дуги проводят одним и тем же раствором циркуля.
• Точка пересечения этих дуг равноудалена от точек на сторонах угла.
• Луч из вершины угла через точку пересечения дуг является его биссектрисой.
• Правильность построения доказывают равенством двух треугольников по трём сторонам.