"Геометрия", Погорелов А.В.
Угол, равный данному, можно построить циркулем и линейкой, даже если его величину не измерять транспортиром. Для этого переносят на новый луч расстояния, связанные с исходным углом: радиус дуги и расстояние между точками, где дуга пересекает стороны. По этим данным получается треугольник, равный исходному по трём сторонам, поэтому соответствующие углы совпадают. Такой способ пригодится при решении задач на построение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равные углы — углы, которые можно совместить наложением. У них одинаковы величины, а соответствующие стороны при совмещении совпадают. Это понятие позволяет сравнивать углы не по внешнему виду, а по тому, совпадут ли они при наложении.
Построить угол, равный данному — значит получить циркулем и линейкой угол той же величины, что и заданный. Для этого не требуется узнавать количество градусов: достаточно перенести нужные расстояния. Такой способ используют, когда точное построение важнее измерения на глаз.
Циркуль — инструмент, которым переносят расстояния, не изменяя их длину. Расстояние между его ножками сохраняют, а затем откладывают на другом месте. При построении угла циркуль помогает повторить радиус дуги и расстояние между её точками на сторонах.
Пересечение окружностей — точка, принадлежащая обеим окружностям. Она равноудалена от центров этих окружностей, потому что расстояние до каждого центра равно радиусу соответствующей окружности. Такие точки помогают получить нужные вершины или отложить одинаковые расстояния при геометрических построениях.
Начинают с заданного угла: его вершину принимают за центр окружности и проводят дугу, пересекающую обе стороны. Точки пересечения отмечают, чтобы сохранить расстояние между ними. Дуга нужна потому, что её радиус одинаково задаёт расстояния от вершины до обеих сторон угла, а значит, помогает перенести часть исходного угла на новое место.
На новом луче выбирают его начало — вершину будущего угла — и проводят дугу того же радиуса, что и у исходного угла. Она пересекает луч в точке, которая будет соответствовать одной из точек на стороне исходного угла. Равный радиус необходим: тогда расстояния от обеих вершин до соответствующих точек на сторонах совпадают, и их можно использовать как равные стороны треугольников.
Теперь циркулем переносят расстояние между двумя точками пересечения исходной дуги со сторонами угла. Не меняя расстояния между ножками, ставят одну ножку в точку пересечения новой дуги с лучом и отмечают полученную точку на дуге. Так сохраняется длина хорды — отрезка между точками дуги. Именно эта длина сообщает, как далеко должна находиться вторая сторона нового угла от первой.
Через новую вершину и отмеченную точку проводят луч. Вместе с уже заданным лучом он образует искомый угол. Сторону, на которой отмечают точку и проводят второй луч, выбирают заранее: так можно построить угол в требуемой области, а не по другую сторону от луча.
Проверим, почему углы равны. Обозначим вершины через O и O′, а точки пересечения дуг со сторонами — через A, B и A′, B′. Радиусы равны, поэтому OA = O′A′ и OB = O′B′; отрезки AB и A′B′ равны по переносу циркулем. Значит, треугольники OAB и O′A′B′ равны по трём сторонам, а их соответствующие углы при вершинах равны.
| Этап | Действие | Зачем это нужно |
|---|---|---|
| Построение дуги у данного угла | Из вершины проводят дугу, пересекающую обе стороны. | Получить две точки и расстояния от вершины до них. |
| Построение такой же дуги у новой вершины | На новом луче проводят дугу тем же радиусом. | Сделать соответствующие расстояния равными. |
| Перенос расстояния между точками на сторонах данного угла | Циркулем переносят расстояние между точками исходной дуги. | Сохранить длину стороны, соединяющей точки на дуге. |
| Проведение второго луча искомого угла | Новый луч проводят через вершину и отмеченную точку. | Получить угол нужной величины. |
| Обоснование равенства углов | Сравнивают треугольники по трём сторонам. | Доказать равенство соответствующих углов. |
Пользуйся таблицей как порядком действий: каждый этап опирается на предыдущий. Отдельно проверяй одинаковый радиус дуг и правильно перенесённое расстояние между точками. Последний этап нужен, чтобы объяснить, почему построение работает, а не просто полагаться на вид чертежа.
Условие. Дан угол и луч, начало которого находится вне этого угла. Нужно построить от начала луча угол, равный данному. Сначала определим, какую роль выполняет этот луч: он уже задаёт одну сторону искомого угла, поэтому требуется построить только вторую.
Центром циркуля сделай вершину исходного угла и проведи дугу, пересекающую его стороны в точках A и B. Отметь эти точки, чтобы затем перенести расстояние AB. Выбранный радиус запомни и не меняй для следующей дуги.
Поставь циркуль в начало заданного луча и проведи дугу тем же радиусом. Она пересечёт луч в точке A′. Одинаковые радиусы дают равенство OA и O′A′, то есть одной пары сторон будущих треугольников.
Разведи ножки циркуля на расстояние AB. От точки A′ отметь на новой дуге точку B′ с нужной стороны луча. Соедини B′ с началом луча и продолжи линию в луч: полученный угол и есть копия исходного.
Ответ. Искомый угол построен от начала заданного луча. Его равенство исходному следует из равенства треугольников по трём сторонам.
Условие. Даны угол и прямая с отмеченной точкой на ней. Нужно построить от этой точки угол, равный данному, по заданную сторону от прямой. Прямая содержит два противоположных луча, поэтому сначала выбираем тот, от которого будет откладываться угол.
Отметь на прямой луч с началом в заданной точке, направленный в удобную сторону. Выбери его так, чтобы требуемую часть угла можно было расположить по указанную сторону прямой. Этот луч станет первой стороной искомого угла.
На исходном угле построй дугу из его вершины и отметь её пересечения со сторонами. Затем из отмеченной на прямой точки проведи дугу того же радиуса. Совпадение радиусов позволяет перенести расстояния от вершин до точек на сторонах.
Циркулем перенеси расстояние между точками исходной дуги на новую дугу, выбирая точку по требуемую сторону от прямой. Проведи через неё и заданную точку второй луч. Так угол будет построен именно в нужной полуплоскости.
Ответ. Получен угол, равный данному и расположенный по заданную сторону от прямой. Если выбрана противоположная точка, построение окажется не в требуемой области.
Условие. Даны два угла и луч, от начала которого нужно построить угол, равный их сумме. Идея состоит в последовательном откладывании: сначала переносим первый угол, затем считаем его второй луч начальной стороной для второго переноса.
От начала заданного луча построй угол, равный первому из данных углов. Для этого перенеси радиус дуги и расстояние между точками её пересечения со сторонами. Новый второй луч будет границей уже отложенного угла.
Теперь рассматривай этот второй луч как исходную сторону следующего угла. Построй от него угол, равный второму данному углу, сохраняя выбранную сторону построения. Так второй угол примыкает к первому, а не накладывается на него.
Рассмотри угол от первоначального луча до последнего построенного луча. Он состоит из двух соседних углов, поэтому его величина равна сумме величин данных углов. Проверь, что при втором переносе отмеченная точка не оказалась по другую сторону от промежуточного луча.
Ответ. Угол между исходным лучом и последним построенным лучом равен сумме двух заданных углов.
Используют разные радиусы. Тогда расстояния от вершин до точек на сторонах не совпадают, и нужные стороны треугольников могут оказаться разными. Ошибку допускают, если заново раскрывают циркуль после первой дуги. Проверь: положение ножек должно оставаться неизменным при построении обеих дуг.
Переносят расстояние от вершины до одной точки вместо расстояния между двумя точками на сторонах. Такое действие повторяет только радиус, но не сохраняет ширину угла, заданную хордой. Путаница возникает из-за того, что оба расстояния откладывают циркулем. Проверь, что ножки стоят именно в двух точках пересечения первой дуги со сторонами.
Проводят луч через неверную точку пересечения. Если не учитывать нужную сторону от исходного луча, угол может быть построен в противоположной области. Особенно легко ошибиться, когда на чертеже доступны две точки. До проведения луча отметь, с какой стороны требуется построение, и выбери точку именно там.
Считают равенство очевидным по рисунку. Чертёж может выглядеть убедительно, хотя точность построения нельзя проверить на глаз. Это происходит, если забыть, что рисунок лишь показывает результат, а не доказывает его. Для проверки перечисли три пары равных сторон и обоснуй равенство треугольников по трём сторонам.
До построения угла нужно уметь пользоваться циркулем и линейкой, а также откладывать на луче отрезок заданной длины. Эти действия нужны, чтобы провести дуги одинакового радиуса и точно перенести расстояние между точками. Метод пригодится при делении углов пополам: сначала можно построить равные углы, а затем работать с их общей границей. Он также используется в задачах на построение треугольников, где важно точно перенести заданный угол.
Можно ли построить угол, равный данному, без измерения его величины транспортиром?
Да. Циркулем переносят нужные расстояния, а линейкой проводят лучи. Равенство результата обосновывают равенством соответствующих треугольников.
Почему дуги у двух углов проводят одним и тем же радиусом?
Так расстояния от обеих вершин до точек на сторонах углов будут одинаковыми. Это нужно, чтобы соответствующие стороны получившихся треугольников были равны.
Какое расстояние нужно перенести циркулем?
Нужно перенести расстояние между двумя точками, в которых дуга пересекла стороны исходного угла. Его откладывают от точки пересечения новой дуги с заданным лучом.
Что делать, если при построении доступны две точки пересечения окружностей?
Выберите ту точку, которая лежит по нужную сторону от заданного луча. Если построение выполняется внутри выбранной области, второй луч проводят именно через неё.
Почему построенный угол действительно равен исходному?
Стороны соответствующих треугольников равны: радиусы дуг одинаковы, а расстояние между точками на сторонах перенесено циркулем. Значит, треугольники равны по трём сторонам, и их соответствующие углы равны.
44. Построение угла, равного данному
