43. Построение треугольника с данными сторонами

Определения и обозначения

Построение треугольника по трём сторонам — это способ получить треугольник, когда известны длины всех его сторон. Для него достаточно циркуля и линейки, а результат можно проверить по заданным длинам. Такой способ нужен, чтобы точно изобразить фигуру без измерения углов. До начала работы стоит проверить, могут ли заданные отрезки вообще образовать треугольник.

Циркуль — инструмент, которым проводят окружность с заданным центром и радиусом. Радиусом называют расстояние от центра окружности до любой точки на ней. Если раздвинуть ножки циркуля на нужную длину и поставить иглу в выбранную точку, все точки проведённой окружности будут на этом расстоянии от неё. Поэтому циркуль помогает задать стороны будущего треугольника.

Линейка — инструмент для проведения прямой через две заданные точки. В построении по трём сторонам она нужна, чтобы соединить вершины и получить стороны треугольника. Сначала с её помощью удобно начертить основание — отрезок заданной длины. Линейкой также соединяют концы основания с найденной третьей вершиной.

Окружность с центром в точке и радиусом, равным заданной длине, состоит из всех точек на этом расстоянии от центра. Это свойство позволяет превратить условие о длине стороны в геометрическое построение. Третья вершина должна отстоять от одного конца основания на длину одной стороны, а от другого — на длину второй. Поэтому её ищут на пересечении двух окружностей.

Как это устроено

Сначала одну из заданных сторон откладывают как основание. Это удобно, потому что её длина сразу задаёт расстояние между двумя вершинами будущего треугольника. Проведи прямую и отметь на ней отрезок нужной длины. Его концы станут двумя вершинами, а оставшуюся вершину предстоит найти.

Концы основания становятся центрами двух окружностей, а их радиусы выбирают по длинам двух оставшихся сторон. Так делают потому, что расстояние от любой точки окружности до её центра равно радиусу. Значит, первая окружность содержит все возможные положения третьей вершины на нужном расстоянии от одного конца основания. Вторая окружность задаёт такое же условие относительно другого конца.

Точка пересечения окружностей находится на заданном расстоянии от обоих концов основания. Именно это нужно для третьей вершины: расстояние до каждого конца должно совпадать с длиной соответствующей стороны. Поэтому точку пересечения можно взять за третью вершину. Если пересечений две, подойдёт любая из них.

Чтобы получить треугольник, соедини выбранную точку пересечения с обоими концами основания. Эти отрезки равны радиусам проведённых окружностей, а основание сохраняет свою первоначальную длину. В результате все три стороны имеют заданные длины. Одного пересечения окружностей недостаточно: без соединения точек фигура ещё не построена.

Построение возможно только тогда, когда окружности пересекаются. Для сторон треугольника это означает, что сумма любых двух сторон больше третьей: расстояние между центрами окружностей должно быть меньше суммы их радиусов. Если сумма равна расстоянию между центрами, окружности могут коснуться, но вершины окажутся на одной прямой и треугольник не получится. При меньшей сумме окружности не встретятся, поэтому нужной третьей вершины нет.

Этапы построения треугольника по трём сторонам

Пользуйся таблицей как порядком действий: переходи к следующему этапу, когда предыдущий выполнен. Перед построением проверь, существует ли треугольник с такими сторонами. В конце сравни длины трёх полученных отрезков с условием.

Разбор задач

Задача 1. Построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Начнём с самой длинной стороны — 5 см: её удобно взять основанием. Оставшиеся длины станут радиусами окружностей. Проверка возможности: 3 + 4 > 5, поэтому окружности должны пересечься.

1. Линейкой отложим отрезок AB длиной 5 см.
2. Проведём окружность с центром A и радиусом 3 см, затем окружность с центром B и радиусом 4 см.
3. Обозначим одну из точек пересечения окружностей буквой C.
4. Соединим C с A и B. По свойству окружностей AC = 3 см и BC = 4 см, а AB = 5 см.

Ответ: треугольник ABC построен, его стороны равны 3 см, 4 см и 5 см. Выбор другой точки пересечения даст такой же треугольник, отражённый относительно основания. Важно не перепутать радиусы: каждый из них соответствует стороне, выходящей из своего конца основания.

Задача 2. Проверить, можно ли построить треугольник со сторонами 2 см, 3 см и 6 см. Не нужно сразу чертить окружности: сначала сравним сумму двух меньших сторон с самой длинной. Если треугольник существует, сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Здесь это условие не выполняется.

1. Сложим две меньшие длины: 2 + 3 = 5 см.
2. Сравним результат с третьей стороной: 5 см < 6 см.
3. Сделаем вывод: окружности радиусами 2 и 3 см с центрами на расстоянии 6 см не пересекутся.

Ответ: построить такой треугольник нельзя. Даже если поставить циркуль и линейку точно, общая точка окружностей не появится. Причина не в неточности чертежа, а в том, что заданные длины не удовлетворяют неравенству треугольника.

Задача 3. Построить треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 6 см и объяснить, почему возможны два положения третьей вершины. Возьмём за основание сторону 6 см, а радиусы обеих окружностей сделаем равными 5 см. Так как 5 + 5 > 6, окружности пересекутся. Их центры одинаково удалены от обеих точек пересечения, поэтому возможны две вершины.

1. Отложим основание AB длиной 6 см.
2. Проведём из A и B окружности радиусом 5 см.
3. Отметим обе точки пересечения C и D: одна находится по одну сторону от AB, другая — по другую.
4. Соединим сначала C с A и B, затем D с A и B. В каждом случае боковые стороны равны 5 см, а основание — 6 см.

Ответ: получаются два положения третьей вершины и два равных треугольника. Один треугольник является отражением другого относительно основания. Если считать одинаковые фигуры, повёрнутые или отражённые в плоскости, это один и тот же вариант треугольника.

Типичные ошибки

Если выбрать радиусы не по длинам оставшихся сторон, полученные боковые стороны окажутся другими. Такое случается, когда длины путают или откладывают циркулем на глаз. Проверяй, какая сторона соответствует каждому радиусу, и сверяй длину ножек циркуля с условием перед проведением окружности.

Обе окружности иногда проводят с одним центром, например, забыв переставить иглу циркуля. Тогда они задают расстояния от одной и той же точки, а не от двух концов основания. Перед работой назови центры: один должен совпадать с первым концом основания, другой — со вторым. Проверь, что это разные точки.

Равенство суммы двух сторон третьей не означает, что треугольник существует. При равенстве окружности могут коснуться в точке на прямой основания, и площадь фигуры будет нулевой; такую фигуру называют вырожденной. Чтобы проверить условие, сравни сумму с третьей стороной: она должна быть строго больше, а не равна ей.

Можно отметить пересечение окружностей, но забыть соединить его с обоими концами основания. Тогда вершины найдены, однако стороны треугольника не построены. После выбора точки проведи к каждому концу основания отдельный отрезок. Для самопроверки убедись, что получились три стороны и их длины совпадают с заданными.

Связь с другими темами

Для построения пригодятся умения откладывать отрезок заданной длины и пользоваться циркулем и линейкой. Ключевое свойство окружности — расстояние от её центра до любой точки равно радиусу — объясняет, почему пересечение окружностей задаёт нужные стороны. Условие существования треугольника выражает неравенство треугольника: сумма любых двух сторон больше третьей. Построение также помогает решать задачи на геометрические построения и изучать признаки равенства треугольников: у построенных фигур можно сравнить все три стороны.

Что запомнить

• Одну из заданных сторон выбирают основанием.
• Центры окружностей — концы основания.
• Радиусы окружностей равны длинам двух других сторон.
• Точка пересечения окружностей служит третьей вершиной.
• Треугольник существует, если сумма любых двух его сторон больше третьей.
• Пересечения окружностей по разные стороны основания дают равные треугольники.