41. Окружность, вписанная в треугольник

Определения и обозначения

Вписанная в треугольник окружность — окружность, которая касается всех трёх его сторон. Сторона, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной. Это определение помогает отличить вписанную окружность от окружности, которая касается только двух сторон или просто проходит рядом с треугольником.

Центр вписанной окружности — точка, равноудалённая от всех сторон треугольника. Она совпадает с точкой пересечения биссектрис углов: биссектриса — луч, делящий угол на две равные части. Это свойство нужно, чтобы точно найти центр и понять, почему он расположен внутри треугольника.

Радиус вписанной окружности — расстояние от её центра до любой стороны треугольника. Расстояние до прямой измеряют по перпендикуляру, поэтому радиус в точку касания перпендикулярен стороне. Это позволяет и построить радиус, и правильно определить его длину на чертеже.

Как это устроено

Точка на биссектрисе угла равноудалена от обеих его сторон. Расстоянием от точки до стороны считается длина перпендикуляра, опущенного на неё, а не длина наклонного отрезка. Если из точки биссектрисы опустить перпендикуляры к сторонам угла, получатся прямоугольные треугольники. Они имеют общую гипотенузу, а острые углы при вершине равны, поэтому соответствующие перпендикуляры равны.

Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются внутри него. Например, для углов A и B их общая точка I равноудалена от сторон AB и AC, потому что лежит на биссектрисе A. Она также равноудалена от AB и BC, так как лежит на биссектрисе B. Значит, расстояния от I до AC и BC тоже равны: каждое из них равно расстоянию до AB. Из этого следует, что I лежит на биссектрисе третьего угла.

Расстояние от точки до стороны находят, опуская перпендикуляр. Пусть I — пересечение биссектрис, а перпендикуляр из I к стороне AC приходит в точку D. Тогда ID — расстояние от I до AC. Поскольку I равноудалена от всех сторон, расстояния до AB и BC тоже равны ID. Поэтому именно длину ID можно использовать как радиус окружности с центром I.

Проведём окружность с центром I и радиусом ID. Она касается AC в точке D, потому что радиус ID перпендикулярен AC. Расстояния от I до двух других сторон также равны радиусу, поэтому окружность касается и их: перпендикуляр от центра к прямой указывает ближайшую точку, а если это расстояние равно радиусу, прямая является касательной. Значит, построенная окружность касается всех трёх сторон и является вписанной.

Центр вписанной окружности единственен. Чтобы окружность касалась двух сторон угла, её центр должен быть равноудалён от этих сторон, то есть лежать на одной из биссектрис угла. Для вписанной окружности центр должен одновременно лежать на биссектрисах углов треугольника. Две такие биссектрисы пересекаются только в одной точке, поэтому другого центра быть не может.

Элементы вписанной окружности и их свойства

Сначала найди в таблице нужный элемент, затем свяжи его определение со свойством в третьем столбце. Например, если известен центр, расстояние до стороны задаёт радиус. А если доказано, что расстояние от центра до прямой равно радиусу, эта прямая касается окружности.

Разбор задач

Задача 1

Условие. В треугольнике ABC проведены биссектрисы углов A и B. Объяснить, почему их точка пересечения равноудалена от всех сторон треугольника. Нужно рассмотреть расстояния до сторон, а не просто сослаться на место пересечения биссектрис.

1. Обозначим пересечение биссектрис через I. Так как I лежит на биссектрисе угла A, расстояния от I до сторон AB и AC равны. Это следует из свойства точек биссектрисы.

2. Точка I лежит и на биссектрисе угла B. Поэтому расстояния от I до сторон AB и BC также равны. Теперь расстояние до AB служит общей величиной для сравнения расстояний до AC и BC.

3. Следовательно, расстояния от I до AC и BC равны расстоянию до AB. Все три расстояния одинаковы, значит, I равноудалена от всех сторон треугольника.

Ответ: точка I равноудалена от сторон AC, AB и BC.

Задача 2

Условие. Построить окружность, вписанную в данный треугольник. Для построения понадобятся циркуль, линейка и перпендикуляр к выбранной стороне. Начинать с произвольного радиуса нельзя: он должен соответствовать расстоянию от центра до стороны.

1. Проведи биссектрисы двух углов треугольника и обозначь их точку пересечения буквой I. Это будет центр будущей окружности, потому что он равноудалён от сторон.

2. Из I опусти перпендикуляр на любую сторону, например AC, и обозначь его основание D. Отрезок ID равен расстоянию от центра до AC, значит, его длина подходит на роль радиуса.

3. Установи раствор циркуля равным ID, поставь иглу в точку I и проведи окружность. Она касается AC в D, а равенство расстояний до остальных сторон обеспечивает касание и их.

Ответ: окружность с центром I и радиусом ID является вписанной в треугольник.

Задача 3

Условие. В треугольнике ABC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке I. Докажите, что окружность с центром I, касающаяся стороны AB, касается также сторон AC и BC. Так как касание с AB уже дано, достаточно установить, что расстояния от I до AC и BC равны радиусу.

1. Пусть окружность касается AB в точке D, а её радиус равен ID. Радиус к точке касания перпендикулярен касательной, поэтому ID — расстояние от I до AB.

2. Точка I лежит на биссектрисе A, значит, расстояние от I до AC равно расстоянию до AB. Оба расстояния равны ID, то есть радиусу окружности.

3. Точка I лежит также на биссектрисе B. Поэтому расстояние от I до BC равно расстоянию до AB и тоже равно радиусу. Если расстояние от центра до прямой равно радиусу, прямая касается окружности.

Ответ: окружность касается сторон AC и BC, а значит, всех трёх сторон треугольника.

Типичные ошибки

• Касание только двух сторон. Такую окружность ошибочно называют вписанной, потому что она уже соприкасается с углом треугольника. Но определение требует касания всех трёх сторон. Проверь отдельно каждую сторону: расстояние от центра до неё должно равняться радиусу.

• Выбор пересечения медиан или высот. Эти линии заметны на чертеже, и их точка пересечения может показаться подходящим центром. Однако центр вписанной окружности лежит на биссектрисах, поскольку равноудалён от сторон. Проверь, какие линии проведены, и используй именно пересечение биссектрис.

• Наклонный отрезок вместо радиуса до стороны. Его принимают за расстояние, хотя он длиннее перпендикуляра. Расстояние от точки до прямой измеряется только перпендикулярно ей. Убедись, что у радиуса и стороны в точке касания образован прямой угол.

• Произвольный радиус из найденного центра. Центр сам по себе ещё не гарантирует касания: окружность может оказаться слишком большой или маленькой. Радиус должен равняться расстоянию до стороны. Опусти перпендикуляр и сравни его длину с радиусом циркуля.

Связь с другими темами

Для работы с вписанной окружностью нужно знать определение биссектрисы и свойство её точек: расстояния до сторон угла равны. При доказательстве касания используется правило, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Эти знания пригодятся в построениях, доказательствах и задачах на элементы треугольника. Свойство равноудалённости позволяет перейти от положения биссектрис к длине радиуса.

Что запомнить

• Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника.

• Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис углов треугольника.

• Биссектрисы всех трёх углов пересекаются в одной точке.

• Центр вписанной окружности равноудалён от сторон треугольника.

• Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра до стороны.

• Радиус к точке касания перпендикулярен стороне.