"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Вписанная в треугольник окружность касается каждой из его трёх сторон. Её центр находится в точке пересечения биссектрис углов, а радиус — это перпендикуляр от центра до стороны. Эти свойства помогают строить окружность, находить её радиус через площадь и полупериметр треугольника, а также вычислять отрезки сторон по равенству касательных, проведённых из одной вершины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанная в треугольник окружность — окружность, касающаяся всех трёх его сторон. Это значит, что каждая сторона имеет с окружностью ровно одну общую точку, а окружность расположена внутри треугольника. По этим касаниям можно определить центр и радиус окружности.
Центр вписанной окружности — точка, равноудалённая от всех сторон треугольника. Он лежит на биссектрисах углов: биссектриса — луч, делящий угол на две равные части. Это помогает найти центр с помощью построения, а не подбирать его на глаз.
Радиус вписанной окружности — перпендикуляр, проведённый из её центра к стороне треугольника. Перпендикуляр показывает кратчайшее расстояние от точки до прямой, поэтому именно он задаёт радиус круга, касающегося стороны.
Точка касания — точка, в которой окружность касается стороны. Радиус, проведённый к этой точке, перпендикулярен стороне. Это свойство позволяет строить радиус и находить точку касания.
Почему точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе? Опустим из точки перпендикуляры на обе стороны: получатся два прямоугольных треугольника. У них общая гипотенуза — отрезок от вершины угла до точки, а острые углы при вершине равны, поэтому треугольники равны. Значит, перпендикуляры имеют одинаковую длину; обратное тоже верно: равные перпендикуляры дают равные углы, и точка лежит на биссектрисе.
Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются внутри него. Точка их пересечения равноудалена от сторон каждого из этих углов. В частности, расстояния до сторон, образующих первый угол, равны, а для второго угла равны расстояния до его сторон; общая сторона связывает эти пары. Поэтому расстояния до всех трёх сторон одинаковы, и точка пересечения является центром вписанной окружности.
Пусть расстояние от найденного центра до стороны равно r. Если провести окружность радиуса r, расстояние от центра до прямой, содержащей эту сторону, будет равно радиусу. Прямая, удалённая от центра на один радиус, касается окружности, а перпендикуляр из центра упирается в неё в точке касания. То же расстояние до каждой из остальных сторон даёт касание и там.
У треугольника есть ровно одна вписанная окружность. Её центр уже однозначно задан пересечением биссектрис, а радиус однозначно задан расстоянием от этого центра до любой стороны. Если изменить центр или радиус, окружность перестанет касаться хотя бы одной стороны. Так обосновывается и существование окружности, и её единственность.
Для частей сторон полезно свойство касательных: отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Если из вершины A выходят касательные к точкам D и F, то AD = AF. Равенство относится именно к отрезкам с общей начальной точкой; отрезки, выходящие из разных вершин, вообще говоря, имеют разные длины.
| Элемент | Как определяется | Что важно знать |
|---|---|---|
| Вписанная окружность | Касается всех трёх сторон треугольника | Расположена внутри треугольника |
| Центр окружности | Точка пересечения биссектрис углов | Равноудалён от сторон |
| Радиус | Перпендикуляр от центра к стороне | Равен расстоянию от центра до стороны |
| Точка касания | Общая точка окружности и стороны | Радиус к ней перпендикулярен стороне |
| Биссектрисы углов треугольника | Луч делит угол на две равные части | Пересекаются внутри треугольника в центре окружности |
Сначала найди нужный элемент в первом столбце, а затем проверь по двум другим, как он определяется и какое свойство использовать. Например, для построения центра ориентируйся на биссектрисы, а для радиуса — на перпендикуляр к стороне. В задачах на части сторон ищи точки касания и применяй равенство касательных из одной вершины.
Условие. Постройте центр окружности, вписанной в данный треугольник, и укажите, как построить её радиус. Центр нельзя выбирать произвольно: он должен быть равноудалён от всех сторон. Поэтому воспользуемся тем, что точки биссектрис равноудалены от сторон угла.
Ответ. Центр — пересечение двух биссектрис, радиус — перпендикуляр от центра к стороне. Чтобы проверить построение, убедитесь, что центр лежит внутри треугольника, а расстояния от него до всех трёх сторон равны.
Условие. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см, площадь равна 84 см². Найдите радиус вписанной окружности. Здесь удобно связать площадь с расстоянием от центра до сторон: три части треугольника имеют общую высоту, равную радиусу.
Ответ. 4 см. Проверка: произведение полупериметра 21 см на радиус 4 см действительно равно площади 84 см².
Условие. Окружность касается сторон AB, BC и CA в точках D, E и F. Известно, что AB = 12 см, BC = 10 см, CA = 14 см. Найдите AD, BD, BE, CE, CF и AF. Сначала сгруппируем отрезки, выходящие из одной вершины, поскольку только они равны по свойству касательных.
Ответ. AD = 8 см, BD = 4 см, BE = 4 см, CE = 6 см, CF = 6 см, AF = 8 см. Проверка по сторонам: 8 + 4 = 12, 4 + 6 = 10, 6 + 8 = 14.
Не принимай за центр пересечение высот или медиан: эти линии решают другие задачи, а центр вписанной окружности задают биссектрисы. Путаница возникает потому, что у каждого из этих элементов есть общая точка пересечения. Проверь, что выбранная точка равноудалена от сторон, или построй биссектрисы двух углов.
Не проводи радиус к стороне под наклоном: расстояние от центра до стороны измеряется перпендикуляром. Ошибка появляется, если считать радиусом любой отрезок до стороны. Проведи прямой угол у основания радиуса и проверь его построением.
Не путай вписанную окружность с описанной: первая касается сторон, а вторая проходит через вершины. Обе связаны с треугольником, поэтому названия легко перепутать. Проверь, где находятся общие точки: на сторонах или в вершинах.
Не приравнивай отрезки касательных из разных вершин: равны только касательные, проведённые из одной точки. Части сторон выглядят похожими, но их длины могут различаться. Обозначай отдельно пары AD = AF, BD = BE и CE = CF, затем сверяй каждую пару по общей вершине.
Для построения центра нужны определение биссектрисы, свойство точек биссектрисы и умение опускать перпендикуляр к прямой. Тема связывается с изучением окружности: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Эти знания пригодятся в задачах на площадь треугольника, касательные и длины отрезков сторон, образованных точками касания.
Как найти центр окружности, вписанной в треугольник?
Проведи биссектрисы любых двух углов треугольника. Их точка пересечения и будет центром вписанной окружности.
Почему достаточно провести только две биссектрисы?
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке внутри него. Точка пересечения двух биссектрис равноудалена от всех трёх сторон, поэтому лежит и на третьей биссектрисе.
Как построить радиус вписанной окружности?
Из центра проведи перпендикуляр к любой стороне треугольника. Отрезок от центра до основания перпендикуляра и есть радиус.
Может ли окружность касаться продолжения стороны треугольника?
Вписанная окружность касается именно сторон — отрезков между вершинами, а не их продолжений. Окружность, касающаяся одной стороны и продолжений двух других, называется вневписанной.
Как найти длины частей сторон, образованных точками касания?
Из каждой вершины к окружности проведены две касательные, поэтому соответствующие отрезки до точек касания равны. Обозначь равные отрезки у каждой вершины одной буквой и составь уравнения по длинам сторон.
1.5. Окружность, вписанная в треугольник
