"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Описанная около треугольника окружность проходит через все три его вершины. Её центр равноудалён от вершин и находится на серединных перпендикулярах к сторонам. По пересечению двух таких перпендикуляров окружность можно построить. Положение центра зависит от вида треугольника: он бывает внутри, на стороне или вне треугольника. Для прямоугольного треугольника центр особенно легко найти: это середина гипотенузы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность, описанная около треугольника, — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Если вершины обозначены A, B и C, то окружность проходит через точки A, B и C. Это позволяет рассматривать стороны треугольника как хорды одной окружности.
Центр описанной окружности — точка, равноудалённая от всех трёх вершин треугольника. Обычно её обозначают O, поэтому OA = OB = OC. Такая точка нужна, чтобы построить окружность: достаточно взять расстояние от O до любой вершины.
Радиус описанной окружности — расстояние от её центра до любой вершины треугольника. Его можно записать так: R = OA = OB = OC. Буквой R часто обозначают радиус, а равенство этих отрезков показывает, почему одна окружность проходит через все вершины.
Предположим, окружность проходит через вершины A и B, а её центр — точка O. Тогда OA и OB являются радиусами одной окружности, поэтому OA = OB. По свойству серединного перпендикуляра всякая точка, равноудалённая от концов отрезка AB, лежит на перпендикуляре к AB, проведённом через его середину. Значит, центр O обязательно лежит на серединном перпендикуляре к AB.
То же рассуждение относится к любой стороне треугольника. Центр окружности должен быть равноудалён от A и B, поэтому лежит на серединном перпендикуляре к AB; одновременно он равноудалён от A и C, поэтому лежит на серединном перпендикуляре к AC. Точка пересечения этих двух линий и будет равноудалена от всех трёх вершин.
Достаточно построить перпендикуляры к двум сторонам, потому что две непараллельные прямые пересекаются в одной точке. Полученная точка имеет одинаковые расстояния до концов первой и второй стороны, а затем и до третьей вершины. Поэтому она автоматически лежит на серединном перпендикуляре к третьей стороне, хотя строить его для нахождения центра не требуется.
У любого невырожденного треугольника две стороны не лежат на одной прямой, поэтому их серединные перпендикуляры пересекаются в единственной точке O. Из свойств этих перпендикуляров следует, что OA = OB и OA = OC. Следовательно, OA = OB = OC, и окружность с центром O и радиусом OA проходит через A, B и C.
Положение центра зависит от углов треугольника. Если все углы острые, серединные перпендикуляры пересекаются внутри треугольника; при прямом угле центр оказывается на гипотенузе. Если один угол тупой, пересечение переносится за пределы треугольника, то есть центр лежит вне его.
| Вид треугольника | Где расположен центр | Особенность |
|---|---|---|
| Остроугольный | Внутри треугольника | Все углы меньше 90° |
| Прямоугольный | На середине гипотенузы | Радиус равен половине гипотенузы |
| Тупоугольный | Вне треугольника | Один угол больше 90° |
Пользуйтесь таблицей после того, как определите вид треугольника по его углам. Она помогает сразу выбрать область поиска центра и понять, где будет находиться радиус. Для прямоугольного треугольника отдельное построение часто не нужно: достаточно найти середину гипотенузы.
Дан треугольник ABC, и требуется построить окружность, проходящую через все его вершины. Центр такой окружности должен быть равноудалён от концов каждой стороны. Поэтому будем искать его с помощью серединных перпендикуляров.
Третий серединный перпендикуляр можно построить для проверки. Он также должен пройти через O, поскольку эта точка равноудалена от концов стороны BC. Так получают единственную описанную окружность данного треугольника.
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Нужно найти радиус описанной окружности, но сначала необходимо узнать гипотенузу. Обозначим её длину через c, а радиус — через R.
Ответ: 5 см. Сначала была найдена сторона, соединяющая вершины прямого угла, а затем использовано специальное свойство описанной окружности. Подставлять в формулу радиуса длину катета нельзя.
Докажем, что центр описанной окружности тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. Пусть угол C тупой, а O — точка пересечения серединных перпендикуляров. В тупоугольном треугольнике перпендикуляры к сторонам AC и BC пересекутся по другую сторону от этих сторон, поэтому их общая точка не может находиться внутри ABC.
Следовательно, центр описанной окружности тупоугольного треугольника лежит снаружи. Это также видно по таблице: положение центра определяется не тем, что точка является центром окружности, а величинами углов треугольника.
Центр всегда внутри треугольника. Так считают, потому что в остроугольном случае это действительно верно. Проверьте углы: у тупоугольного треугольника центр вне фигуры, а у прямоугольного лежит на гипотенузе.
Серединный перпендикуляр проводят через вершину. Ошибка возникает, если помнить только слово «перпендикуляр». Проверьте две вещи: прямая должна быть перпендикулярна стороне и проходить через её середину.
Радиусом считают сторону треугольника. Сторона соединяет две вершины, а радиус идёт от центра окружности к одной вершине. Для проверки найдите центр O и убедитесь, что радиусом является OA, OB или OC.
Радиус прямоугольного треугольника равен гипотенузе. Гипотенуза является диаметром описанной окружности, то есть проходит через её центр и соединяет две противоположные точки. Поэтому радиус в два раза меньше гипотенузы: R = c/2.
Для этой темы нужно знать серединный перпендикуляр и его свойство: каждая его точка равноудалена от концов отрезка. Именно это свойство объясняет построение центра описанной окружности.
Практическая часть связана с построением перпендикуляров и середин отрезков. В задачах для прямоугольного треугольника понадобится теорема Пифагора, позволяющая найти гипотенузу по катетам.
Описанная окружность пригодится при изучении вписанных углов и других свойств окружностей. Она также помогает решать задачи, где нужно связать стороны, углы, хорды и расстояния от центра.
Почему центр описанной окружности равноудалён от всех вершин?
Все вершины лежат на одной окружности. Поэтому расстояние от центра окружности до каждой вершины является её радиусом и имеет одинаковую длину.
Почему для построения центра достаточно двух серединных перпендикуляров?
Пересечение двух серединных перпендикуляров уже задаёт точку, равноудалённую от трёх вершин. Значит, она лежит и на третьем серединном перпендикуляре, поэтому строить его для нахождения центра необязательно.
Всегда ли центр описанной окружности находится внутри треугольника?
Нет. У остроугольного треугольника центр находится внутри, у прямоугольного — на середине гипотенузы, а у тупоугольного — вне треугольника.
Где находится центр описанной окружности прямоугольного треугольника?
Он находится в середине гипотенузы. Концы гипотенузы и вершина прямого угла равноудалены от этой точки.
Как найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника?
Сначала находят длину гипотенузы, например по теореме Пифагора. Затем радиус вычисляют как половину гипотенузы: R = c/2.
1.6. Окружность, описанная около треугольника
