39. Окружность, описанная около треугольника

Определения и обозначения

Описанная около треугольника окружность — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Например, для треугольника ABC это окружность, на которой лежат точки A, B и C. Такое определение помогает отличить описанную окружность от любой другой окружности, нарисованной рядом с треугольником.

Центр описанной окружности — точка, равноудалённая от всех вершин треугольника. Если обозначить центр буквой O, то OA = OB = OC. Это равенство позволяет находить центр с помощью построений, а не угадывать его положение на чертеже.

Радиус описанной окружности — расстояние от её центра до любой вершины треугольника. В треугольнике ABC радиусами будут OA, OB и OC, причём их длины равны. Радиус нужен, чтобы построить окружность с найденным центром и проверить, что все три вершины лежат на ней.

Серединный перпендикуляр к стороне — прямая, перпендикулярная стороне и проходящая через её середину. Например, серединный перпендикуляр к AB пересекает AB под прямым углом ровно в середине отрезка. Он нужен потому, что каждая его точка одинаково удалена от A и B.

Как это устроено

Сначала выясним, почему центр должен лежать на серединном перпендикуляре к стороне. Центр описанной окружности одинаково удалён от всех вершин, поэтому от концов стороны AB он удалён на равные расстояния: OA = OB. По свойству отрезка любая точка, равноудалённая от A и B, лежит на серединном перпендикуляре к AB. Значит, центр нельзя выбирать произвольно: он обязан принадлежать этой прямой, а также серединным перпендикулярам к другим сторонам.

Рассмотрим серединные перпендикуляры к двум сторонам, например AB и BC. Они пересекаются в точке O: стороны не лежат на одной прямой, поэтому их серединные перпендикуляры не параллельны. Так как O лежит на перпендикуляре к AB, то OA = OB; так как она лежит на перпендикуляре к BC, то OB = OC. Из этих равенств следует, что OA = OB = OC, то есть точка O равноудалена от всех трёх вершин.

Теперь можно построить окружность с центром O и радиусом OA. Точки A и B находятся от O на расстоянии OA, а из равенства OA = OC следует, что на таком же расстоянии находится и C. Поэтому окружность проходит через все три вершины, а не только через две выбранные для построения. Именно так из точки пересечения перпендикуляров получается описанная окружность.

Центр описанной окружности только один. Для двух непараллельных сторон точка пересечения их серединных перпендикуляров единственна, а равенство расстояний до вершин однозначно задаёт радиус. Поэтому нельзя построить две разные окружности, проходящие через все три вершины одного треугольника. Серединный перпендикуляр к третьей стороне тоже проходит через найденную точку: расстояния от неё до концов этой стороны равны.

Положение центра зависит от углов треугольника, потому что меняется место пересечения серединных перпендикуляров. У остроугольного треугольника оно находится внутри: перпендикуляры пересекаются в области, ограниченной сторонами. У прямоугольного центр оказывается в середине гипотенузы. У тупоугольного он лежит вне треугольника, поэтому неверно искать его только внутри фигуры.

Описанная окружность и связанные с ней объекты

Таблица помогает различать окружность, её центр, радиус и прямую, с помощью которой находят центр. При построении сначала используют свойство серединного перпендикуляра, затем проверяют равенство расстояний до вершин. Если эти расстояния равны, окружность с таким центром проходит через весь треугольник.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC проведён серединный перпендикуляр к стороне AB. Докажите, что любая его точка равноудалена от A и B. Нужно связать условие о прямой с расстояниями до концов отрезка. Обозначим произвольную точку этой прямой буквой P.

1. По определению серединный перпендикуляр проходит через середину AB и перпендикулярен AB.
2. По свойству серединного перпендикуляра каждая его точка одинаково удалена от концов отрезка.
3. Следовательно, для выбранной точки P выполняется PA = PB.

Ответ: любая точка серединного перпендикуляра к AB равноудалена от A и B. Точка P была выбрана произвольно, поэтому доказательство относится ко всем точкам прямой. Здесь использовано свойство серединного перпендикуляра, а не наличие третьей вершины C.

Задача 2. Найдите центр окружности, описанной около треугольника со сторонами AB, BC и CA, если известны их середины. Середины нужны для построения серединных перпендикуляров, но сами по себе ещё не задают центр. Построим перпендикуляры только к двум сторонам, например AB и BC.

1. Через середину AB проведите прямую, перпендикулярную AB.
2. Через середину BC проведите прямую, перпендикулярную BC.
3. Обозначьте точку их пересечения буквой O. По свойству этих прямых OA = OB и OB = OC, значит, OA = OB = OC.

Ответ: центр — точка пересечения построенных серединных перпендикуляров. Равные расстояния до A, B и C показывают, что окружность с центром O и радиусом OA пройдёт через все вершины. Третий перпендикуляр для нахождения центра проводить не требуется.

Задача 3. Докажите, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом C, а M — середина гипотенузы AB. Проверим, что M равноудалена от всех трёх вершин.

1. В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех вершин: MA = MB = MC.
2. Постройте окружность с центром M и радиусом MA. Из равенств следует, что B и C также находятся на расстоянии этого радиуса от M.
3. Значит, окружность проходит через A, B и C, поэтому M является её центром.

Ответ: центр описанной окружности — середина гипотенузы. Равенство расстояний доказывает, что эта точка подходит на роль центра, а единственность центра исключает другое решение. Радиус этой окружности равен половине гипотенузы.

Типичные ошибки

Иногда считают, что центр описанной окружности всегда находится внутри треугольника. Такое представление возникает, если ученик запоминает расположение центра только для остроугольного примера. У тупоугольного треугольника центр лежит снаружи, поэтому проведите перпендикуляры до их пересечения, не ограничиваясь внутренней областью.

Можно провести прямую перпендикулярно стороне, но не через её середину. Такая прямая не является серединным перпендикуляром, хотя на чертеже может выглядеть похоже. Ошибка возникает, когда учитывают только прямой угол и забывают второе условие определения. Проверьте, что точка пересечения делит сторону на две равные части.

Ещё одна ошибка — построить окружность через две вершины и сразу назвать её описанной. Через две точки можно провести окружности с разными центрами, и третья вершина не обязательно попадёт на выбранную окружность. Чтобы проверить результат, сравните расстояния от центра до всех вершин: они должны быть одинаковыми и равными радиусу.

Для нахождения центра иногда проводят серединные перпендикуляры ко всем трём сторонам. Это не ошибка, если построение выполнено верно, но лишняя работа может привести к неточностям. Достаточно пересечь перпендикуляры к двум сторонам: полученная точка равноудалена от трёх вершин. Третий перпендикуляр пройдёт через неё, что можно использовать для проверки построения.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определение окружности и свойство точек, равноудалённых от концов отрезка. Построение центра опирается на это свойство и на умение проводить серединные перпендикуляры. Поэтому тема связана с построением треугольников и применением свойств перпендикулярных прямых. Сведения о положении центра в разных треугольниках пригодятся при дальнейшем изучении окружностей, связанных с треугольником.

Что запомнить

• Описанная около треугольника окружность проходит через все три его вершины.
• Центр описанной окружности равноудалён от всех вершин треугольника.
• Центр лежит на серединном перпендикуляре к каждой стороне.
• Для нахождения центра достаточно пересечь серединные перпендикуляры к двум сторонам.
• В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.
• В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности находится вне треугольника.