"Геометрия", Погорелов А.В.
Окружность — это линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. Она задаётся центром и радиусом, поэтому её можно построить циркулем и описать с помощью нескольких простых элементов. Радиус соединяет центр с окружностью, хорда — две её точки, а диаметр проходит через центр и равен двум радиусам. Эти понятия помогают решать задачи и служат основой для изучения дуг и длины окружности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — это множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Иными словами, если выбрать любую точку окружности и измерить расстояние до этой особой точки, результат будет одним и тем же. Особую точку называют центром окружности. Такое определение позволяет понять, какие точки принадлежат окружности, а какие лежат вне неё.
Центр окружности — точка, от которой все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии. Обычно центр обозначают заглавной буквой, например O. Если известен центр, можно отсчитывать от него расстояния и описывать расположение точек окружности. Сам центр обычно не лежит на окружности.
Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр с любой точкой окружности. Радиус обозначают, например, OA, если O — центр, а A — точка на окружности; длину часто обозначают маленькой буквой r. Поэтому запись OA = 4 см сообщает длину радиуса, а OA — название самого отрезка. Радиус помогает задавать окружность и находить другие её элементы.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — особая хорда, которая проходит через центр; обычно его обозначают буквой d. Не каждая хорда проходит через центр, но любой диаметр соединяет две точки окружности. Эти определения нужны, чтобы отличать отрезки по их расположению, а не только по длине.
Окружность задаётся центром и радиусом, потому что эти два сведения указывают, где искать каждую её точку. Для любой точки окружности расстояние до центра должно быть равно радиусу. Например, если центр — O, а радиус равен 5 см, то все точки на расстоянии 5 см от O принадлежат окружности. Точка на другом расстоянии уже не лежит на ней.
Циркулем окружность строят, закрепив иглу в выбранном центре и раздвинув ножки на длину радиуса. Игла остаётся на месте, поэтому одна ножка задаёт центр, а вторая при движении удерживает одинаковое расстояние до него. Когда карандаш обходит полный оборот, он проходит все точки, удалённые от центра на заданный радиус. Если изменить раскрытие циркуля, получится окружность другого радиуса.
Все радиусы одной окружности равны, поскольку каждый из них соединяет центр с точкой окружности. По определению, расстояние от центра до любой такой точки одинаково. Значит, если A и B лежат на окружности с центром O, то OA = OB. Это равенство позволяет подставлять длину одного радиуса вместо другого в вычислениях.
Диаметр — хорда, проходящая через центр. Если диаметр AB пересекает центр O, то O лежит между A и B, а отрезок AB складывается из двух радиусов: AO и OB. Эти радиусы равны, поэтому AB = AO + OB = 2r. Следовательно, чтобы найти диаметр, радиус удваивают, а радиус по известному диаметру находят делением на два.
Окружность и круг — не одно и то же. Окружность состоит только из точек, находящихся на заданном расстоянии от центра, то есть образует границу. Круг включает эту границу и все точки внутри неё, расстояние от которых до центра не больше радиуса. Такое различие важно, когда в задаче речь идёт о линии или обо всей ограниченной ею области.
| Элемент | Что обозначает | Как расположен | Связь с радиусом |
|---|---|---|---|
| Центр | Точку, равноудалённую от точек окружности | Внутри окружности | До каждой точки окружности расстояние равно радиусу |
| Радиус | Отрезок от центра до окружности | Один конец в центре, другой — на окружности | Его длина обозначается r |
| Хорда | Отрезок между двумя точками окружности | Оба конца лежат на окружности | Не обязательно равна двум радиусам |
| Диаметр | Хорду, проходящую через центр | Соединяет точки окружности через центр | d = 2r |
Сначала определите, какие точки и отрезки указаны в задаче, а затем сравните их расположение с таблицей. Если отрезок соединяет две точки окружности, это хорда; если он ещё и проходит через центр, это диаметр. По последнему столбцу удобно проверить вычисления с радиусом и диаметром.
Задача 1. Радиус окружности равен 4 см. Найдите её диаметр. Нужно понять, сколько радиусов составляют диаметр: он проходит через центр, поэтому состоит из двух равных частей от центра до окружности.
Ответ: диаметр равен 8 см.
Задача 2. Диаметр окружности равен 13 см. Найдите радиус. Радиус — половина диаметра, потому что диаметр состоит из двух равных радиусов. Поэтому здесь нужно не удваивать число, а разделить его на два.
Ответ: радиус равен 6,5 см.
Задача 3. Точки A и B лежат на окружности с центром O. Известно, что OA = 6 см, а AB проходит через O. Найдите AB и объясните, каким элементом окружности является AB. Так как A и B лежат на окружности, отрезки OA и OB — радиусы, а значит, равны. Условие о прохождении через центр поможет определить вид отрезка AB.
Ответ: AB — диаметр, его длина равна 12 см.
Иногда круг называют окружностью, потому что в обычной речи эти слова могут обозначать похожие предметы. Но в геометрии окружность — только граница, а круг — вся область внутри границы вместе с ней. Чтобы проверить себя, уточните: в задаче нужна линия или ещё и внутренние точки?
Можно ошибочно считать любую хорду диаметром, ведь обе соединяют точки окружности. Отличие в том, что диаметр обязательно проходит через центр, а у обычной хорды это не требуется. Проверьте, лежит ли центр на отрезке: если нет, перед вами не диаметр.
Путают также сам отрезок и его длину: отрезок OA — геометрический объект, а 6 см — его длина. Единицы измерения указывают для числовой длины, а не добавляют к названию отрезка. Перед записью ответа проверьте, спрашивают ли в задаче отрезок или его числовую величину.
Ещё одна ошибка — делить радиус на два, когда требуется найти диаметр. Так применяют обратное соотношение: радиус получают делением диаметра на два, а диаметр — умножением радиуса на два. Проверка простая: диаметр должен быть больше радиуса вдвое.
Для изучения окружности нужны понятия отрезка и расстояния между точками: без них нельзя определить радиус и хорду. При построении циркулем важно уметь задавать нужное расстояние и сохранять раскрытие инструмента. Понимание середины отрезка также помогает увидеть, что центр делит диаметр на два равных радиуса. Позже окружность понадобится при изучении центральных углов и дуг, а также при измерении её длины.
Чем окружность отличается от круга?
Окружность — это только линия, точки которой находятся на заданном расстоянии от центра. Круг включает эту линию и все точки внутри неё.
Может ли хорда быть длиннее диаметра?
Нет. Диаметр — самая длинная хорда окружности: он проходит через центр и равен двум радиусам. Любая другая хорда короче диаметра.
Обязательно ли диаметр является хордой?
Да. Диаметр соединяет две точки окружности, поэтому по определению является хордой. Его особенность в том, что он проходит через центр.
Как найти радиус, если известен диаметр?
Нужно разделить длину диаметра на два: r = d : 2. Например, если диаметр равен 12 см, радиус равен 6 см.
Сколько радиусов можно провести в одной окружности?
Радиусов можно провести сколько угодно. Каждый соединяет центр с какой-либо точкой окружности, а длина всех таких отрезков одинакова.
38. Окружность
