1.1. Окружность

Определения и обозначения

Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Иначе говоря, если взять любую точку окружности и измерить расстояние до этой особой точки, результат всегда будет одинаковым. Окружность — это линия, а не вся область внутри неё. Определение помогает отличать окружность от других замкнутых линий.

Центр окружности — точка, от которой равноудалены все точки окружности; обычно его обозначают буквой O. Точки окружности располагаются вокруг центра на одном и том же расстоянии. Если известен центр, можно понять, откуда измеряют радиусы и где поставить иглу циркуля. Без центра нельзя однозначно описать положение окружности.

Радиус окружности — отрезок, соединяющий центр с точкой окружности, а также длина этого отрезка. Длину часто обозначают R или r, а сам отрезок имеет два конца: центр и точку на окружности. Это различие полезно при решении задач: например, OA — отрезок, а запись OA = 5 см сообщает его длину. По радиусу и центру можно построить окружность.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр. Значит, у диаметра оба конца находятся на окружности, а сам отрезок пересекает центр. Эти определения позволяют отличить диаметр от других хорд.

Как это устроено

Задать окружность можно центром и радиусом, потому что определение требует одного и того же расстояния от центра до каждой её точки. Если центр уже выбран, достаточно установить расстояние, на котором должна проходить линия. Все точки, удалённые от центра ровно на это расстояние, и составят окружность. Изменив радиус, мы получим окружность другого размера, даже если центр останется прежним.

Циркуль помогает провести такую линию благодаря неизменному расстоянию между его ножками. Сначала раздвиньте ножки на длину нужного радиуса и поставьте иглу в центр будущей окружности. Затем поверните циркуль вокруг иглы, не меняя раствор. Карандаш будет оставаться на одинаковом расстоянии от центра, поэтому начерченная линия соответствует определению окружности.

Все радиусы одной окружности равны, потому что каждый соединяет центр с точкой, принадлежащей этой окружности. По определению расстояния от центра до всех её точек одинаковы. Поэтому радиусы могут быть направлены в разные стороны, но их длины совпадают. Это позволяет заменить один радиус другим, если в задаче удобнее рассматривать другой отрезок.

Диаметр — особая хорда, поскольку проходит через центр. Точка центра делит диаметр на две части, каждая из которых соединяет центр с точкой окружности и потому является радиусом. Получаются два равных отрезка, поэтому длина диаметра вдвое больше длины радиуса: d = 2r. Обратно, чтобы найти радиус по диаметру, нужно разделить диаметр на два.

Окружность и круг связаны, но это не одно и то же. Окружность состоит только из точек границы, удалённых от центра на радиус. Круг включает и эту границу, и все точки внутри неё, которые находятся от центра не дальше радиуса. Такое различие важно, когда в условии задачи говорится о линии или обо всей ограниченной ею области.

Основные элементы окружности

Сначала определите, о какой части окружности говорится в задаче: о центре, отрезке до границы или отрезке между двумя точками границы. Затем проверьте, проходит ли хорда через центр: только в этом случае она является диаметром. В последнем столбце видно, какие понятия помогают находить длины.

Разбор задач

Построить окружность с центром O и радиусом 3 см

Нужно провести линию, все точки которой будут удалены от O на 3 см. Поэтому сначала задаём циркулем именно это расстояние. Игла должна оставаться в центре, иначе расстояние от начерченной линии до O изменится.

1. Линейкой раздвигаем ножки циркуля на 3 см.
2. Ставим иглу в точку O и проверяем, что раствор циркуля не изменился.
3. Поворачиваем циркуль вокруг иглы, проводя полную линию.

Каждая точка проведённой линии удалена от O на 3 см, значит, это нужная окружность. Ответ: построена окружность с центром O и радиусом 3 см.

Точка A лежит на окружности с центром O, OA = 5 см. Найти радиус окружности

Точка A принадлежит окружности, а O — её центр. Значит, отрезок OA соединяет центр с точкой окружности и по определению является радиусом. Его длина уже указана в условии, поэтому дополнительное вычисление не требуется.

1. Находим центр O и точку A на окружности.
2. Распознаём отрезок OA как радиус.
3. Берём его длину из условия: OA = 5 см.

Ответ: радиус окружности равен 5 см. Если бы длина OA не была записана отдельно, её можно было бы определить как расстояние между точками O и A.

Диаметр окружности равен 12 см. Найти радиус и объяснить, почему отрезок диаметра является хордой

Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому его длина вдвое больше радиуса. Значит, для нахождения радиуса делим известную длину диаметра на 2. Чтобы объяснить, почему диаметр — хорда, проверяем, соединяет ли он две точки окружности.

1. Записываем связь: d = 2r, где d — диаметр, r — радиус.
2. Подставляем d = 12 см и вычисляем: r = 12 : 2 = 6 см.
3. Отмечаем, что концы диаметра лежат на окружности, поэтому он соединяет две её точки.
4. Учитываем дополнительное свойство диаметра: он проходит через центр.

Итак, радиус равен 6 см. Диаметр является хордой, потому что соединяет две точки окружности; отличие диаметра в том, что он ещё и проходит через центр.

Типичные ошибки

Называть круг окружностью — значит путать границу и область внутри неё. Ошибка возникает потому, что в быту эти слова иногда используют почти одинаково. Проверьте себя: если речь только о линии, это окружность; если включена вся внутренняя область, это круг. Например, обод соответствует окружности, а плоский диск вместе с внутренней частью — кругу.

Не любой отрезок от центра можно назвать радиусом: его второй конец обязательно должен лежать на окружности. Иногда ученик замечает только первый конец отрезка — центр — и не проверяет второй. Чтобы проверить себя, посмотрите, заканчивается ли отрезок на границе. Если второй конец внутри или снаружи, это не радиус окружности.

Не всякая хорда является диаметром. Хорду легко принять за диаметр, если она выглядит длинной или расположена почти посередине окружности. Проверка другая: соединяет ли отрезок две точки окружности и проходит ли через центр? Если центр не лежит на отрезке, перед нами хорда, но не диаметр.

Радиусом называют и отрезок, и его длину, из-за чего можно перепутать геометрический объект с числом. Буквой r или R обычно обозначают длину, а у отрезка есть концы, например O и A. Проверьте запись и единицы: OA = 5 см — это длина отрезка, а сам радиус — отрезок OA. Если требуется назвать объект, укажите его концы.

Связь с другими темами

Для работы с окружностью нужно знать, что такое точка и отрезок, уметь находить расстояние между точками и пользоваться циркулем. Эти навыки помогают понять определение и выполнять построения без изменения заданного радиуса. Позже окружность встретится при изучении центральных и вписанных углов, а также вписанных многоугольников. Связь диаметра и радиуса пригодится при вычислении длины окружности и площади круга.

Что запомнить

• Окружность состоит из точек, равноудалённых от центра.
• Расстояние от центра до любой точки окружности — радиус.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Хорда соединяет две точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Длина диаметра вдвое больше длины радиуса.
• Окружность — граница круга, а круг включает внутреннюю область.