"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Окружность и прямая могут не иметь общих точек, пересекаться в двух точках или касаться в одной. Чтобы определить их взаимное расположение, сравнивают радиус окружности с расстоянием от её центра до прямой. Это помогает отличать секущую от касательной и решать задачи на хорды и длины отрезков. Главное свойство касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен ей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки, центра O. Это расстояние называют радиусом и обозначают r; для любой точки A окружности OA = r. Такое определение помогает отличить окружность от круга: окружность состоит из точек на границе, а круг включает и внутреннюю область.
Секущая — прямая, которая имеет с окружностью две общие точки. Если точки пересечения обозначить A и B, отрезок AB внутри окружности будет хордой. Это удобно в задачах: хорда позволяет связать расстояние до прямой с радиусом.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с ней ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания, например B. Название помогает быстро распознать случай, когда прямая только касается окружности, но не проходит через её внутреннюю область.
Расстояние от центра окружности до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту прямую. Его обычно обозначают d. Именно это расстояние, а не отрезок до произвольной точки прямой, сравнивают с радиусом.
Чтобы понять, где находится прямая относительно окружности, из центра O опускают на неё перпендикуляр и обозначают его длину d. Перпендикуляр даёт кратчайший путь от точки до прямой, поэтому именно d показывает, насколько близко прямая подходит к центру. Затем эту длину сравнивают с радиусом r: положение прямой зависит от того, достигает ли она границы окружности.
Если d больше r, даже ближайшая к центру точка прямой находится дальше, чем точки окружности. Значит, прямая проходит вне неё и общих точек нет. Если d меньше r, основание перпендикуляра лежит внутри круга: на прямой есть точки и по одну, и по другую сторону границы, поэтому она пересекает окружность дважды.
При d = r основание перпендикуляра находится ровно на расстоянии радиуса от центра, а значит, лежит на окружности. В этой точке прямая встречается с окружностью; дальше она уходит от центра, поэтому второй общей точки нет. Так возникает касание, а основание перпендикуляра становится точкой касания.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Действительно, расстояние от центра до касательной равно r, а отрезок от центра до точки касания тоже имеет длину r. Поскольку перпендикуляр является кратчайшим отрезком от центра до прямой, радиус к точке касания и есть этот перпендикуляр.
Верно и обратное утверждение: если прямая перпендикулярна радиусу в его конце, лежащем на окружности, то она касается окружности. Для любой другой точки этой прямой расстояние до центра больше радиуса: получается прямоугольный треугольник с катетом r и ненулевым вторым катетом. Значит, других общих точек с окружностью нет.
| Условие | Общие точки | Положение прямой |
|---|---|---|
| d > r | Нет | Вне окружности |
| d = r | Одна | Касательная |
| d < r | Две | Секущая |
Сначала найдите именно перпендикулярное расстояние d от центра до прямой, затем сопоставьте его с радиусом. По строке таблицы сразу определяются и число общих точек, и тип прямой. Если d < r, полученные точки пересечения могут быть концами хорды.
Радиус окружности равен 5 см, а расстояние от её центра до прямой — 7 см. Определите число общих точек. Нужно понять, может ли прямая дойти до окружности: достаточно проверить её ближайшую к центру точку.
Ответ: общих точек нет.
Радиус окружности равен 13 см, расстояние от центра до прямой — 5 см. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Определите число общих точек и длину хорды. Сначала выясним, пересекает ли прямая окружность, а затем найдём половину хорды в прямоугольном треугольнике.
Ответ: две общие точки; длина хорды — 24 см.
Из точки A к окружности с центром O проведена касательная AB, B — точка касания. Найдите AB, если OA = 10 см, а радиус окружности равен 6 см. Радиус OB перпендикулярен касательной AB, поэтому треугольник OBA прямоугольный, а OA — его гипотенуза.
Ответ: AB = 8 см.
Ошибка: считать прямую касательной только потому, что на рисунке она выглядит касающейся. Схематичный чертёж может быть неточным, поэтому внешний вид не доказывает геометрическое свойство. Проверьте, что d = r, или докажите перпендикулярность прямой радиусу в точке окружности.
Ошибка: сравнивать радиус с расстоянием до случайной точки прямой. Такой отрезок может быть длиннее настоящего расстояния от центра до прямой и привести к неверному выводу. Найдите основание перпендикуляра и используйте длину именно этого перпендикуляра.
Ошибка: путать секущую с касательной. Это часто случается, когда запоминают слова, но не число общих точек: у секущей их две, у касательной одна. Проверьте число пересечений или сравните d и r.
Ошибка: применять обратное свойство касательной, не проверив, где заканчивается радиус. Перпендикулярность сама по себе недостаточна, если конец радиуса не лежит на окружности. Убедитесь, что расстояние от центра до этого конца равно r, и только затем делайте вывод о касательной.
Чтобы разобраться в положении прямой и окружности, нужно знать, что такое центр и радиус, а также уметь строить перпендикуляр. Понятие расстояния от точки до прямой объясняет, почему измерение ведут именно по перпендикуляру. Эти знания пригодятся при решении задач на касательные и хорды, вычислении длин отрезков и доказательстве геометрических утверждений. В задачах на длины часто помогает теорема Пифагора.
Как понять, пересекает ли прямая окружность или касается её?
Опустите из центра перпендикуляр на прямую и сравните его длину d с радиусом r. Если d < r, прямая пересекает окружность в двух точках, а если d = r — касается её в одной точке.
Почему для определения положения прямой сравнивают расстояние от центра с радиусом?
Расстояние от центра до прямой показывает, насколько близко прямая проходит к центру. Если оно больше радиуса, прямая проходит снаружи окружности; если равно радиусу, до неё можно дойти по радиусу; если меньше — прямая проходит через внутреннюю область круга.
Как называется прямая, имеющая с окружностью две общие точки?
Такая прямая называется секущей. Отрезок секущей между точками пересечения с окружностью является хордой.
Почему радиус в точку касания перпендикулярен касательной?
Перпендикуляр от точки до прямой — самый короткий отрезок, соединяющий их. Центр окружности находится от касательной на расстоянии, равном радиусу, поэтому радиус к точке касания и есть этот перпендикуляр.
Как доказать, что данная прямая является касательной к окружности?
Можно показать, что расстояние от центра до прямой равно радиусу: тогда у них одна общая точка. Также можно доказать, что прямая перпендикулярна радиусу, конец которого лежит на окружности.
1.2. Окружность и прямая
