"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Центральный и вписанный углы помогают связывать углы с дугами окружности. У центрального угла вершина находится в центре, а у вписанного — на окружности. Градусная мера дуги совпадает с соответствующим центральным углом, а вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Эти правила позволяют находить неизвестные углы, сравнивать их и быстро распознавать прямой угол, опирающийся на диаметр.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны пересекают окружность и задают дугу. Например, если O — центр, а точки A и B лежат на окружности, то ∠AOB — центральный угол. По нему удобно определять градусную меру дуги AB.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её и являются хордами. Если вершина угла — точка C, а стороны проходят через A и B, то угол записывают ∠ACB. Такое определение помогает отличить вписанный угол от центрального по положению вершины.
Дуга, на которую опирается угол, — часть окружности внутри угла между точками, в которых его стороны пересекают окружность. Между двумя точками обычно есть малая и большая дуги, поэтому нужно уточнять, какая из них находится внутри угла. Это помогает не подставить в вычисления меру другой дуги.
Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла. Для малой дуги берут угол меньше 180°, а мера большой дуги равна 360° минус мера малой. Так можно определить меру любой из двух дуг между выбранными точками.
Градусная мера дуги равна соответствующему центральному углу, потому что обе величины описывают один и тот же поворот от одного радиуса к другому. Когда радиус поворачивается вокруг центра, его конец проходит по дуге окружности. Поэтому, например, центральному углу в 76° соответствует дуга в 76°, а большой дуге между теми же точками соответствует оставшаяся часть круга.
Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое меньше центрального угла. Чтобы понять причину, соединяют центр окружности с вершиной вписанного угла: получаются радиусы и равнобедренные треугольники, в которых углы при основании равны. Если вершина вписанного угла находится на большой дуге, рассуждение приводит прямо к половине соответствующего центрального угла. Если вершина расположена на малой дуге, берут центральный угол, соответствующий большой дуге внутри вписанного угла; связь «половина дуги» всё равно остаётся верной.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, потому что каждый из них равен половине градусной меры этой дуги. Положение их вершин может различаться, но мера общей дуги не меняется. Поэтому сначала проверяют именно дугу, а не только наличие общей хорды.
Диаметр делит окружность на две полуокружности, каждая из которых имеет меру 180°. Вписанный угол, опирающийся на такую дугу, равен её половине, то есть 90°. Поэтому, если сторонами вписанного угла служат хорды, соединяющие вершину с концами диаметра, угол при вершине прямой.
Если центр и вершина вписанного угла расположены так, что связь углов не видна сразу, проведи радиус из центра к вершине угла. Этот радиус вместе с двумя другими радиусами образует равнобедренные треугольники, поскольку их стороны — радиусы одной окружности. Равные углы при основаниях и сумма углов треугольника позволяют выразить центральный угол через вписанный или наоборот. Такой вспомогательный отрезок превращает сложный чертёж в несколько знакомых соотношений.
| Характеристика | Центральный угол | Вписанный угол |
|---|---|---|
| Положение вершины | В центре окружности | На окружности |
| Из чего состоят стороны | Из радиусов | Из хорд |
| Какую дугу задаёт угол | Дугу между точками пересечения сторон с окружностью | Дугу внутри угла между концами хорд |
| Связь с градусной мерой дуги | Равен мере соответствующей дуги | Равен половине меры дуги, на которую опирается |
| Связь углов, опирающихся на одну дугу | Равен мере этой дуги | Равен половине соответствующего центрального угла |
| Частный случай: угол, опирающийся на диаметр | Соответствующая полуокружность равна 180° | Равен 90° |
Сначала по положению вершины определи, какой угол изображён. Затем найди дугу, на которую он опирается, и выбери соответствующую строку о градусной мере. Если в задаче есть диаметр, проверь, не получается ли вписанный прямой угол.
Задача 1. Центральный угол окружности равен 76°. Найдите градусную меру соответствующей малой дуги. Нужно установить, какая величина связана с дугой, а затем проверить, что требуется именно малая дуга. Мера большой дуги здесь не нужна.
Ответ: 76°.
Задача 2. Вписанный угол опирается на дугу в 134°. Найдите угол. Здесь известна мера именно той дуги, которая лежит внутри угла, поэтому дополнительных вычислений с 360° не требуется. Вспоминаем, что вписанный угол составляет половину меры своей дуги.
Ответ: 67°.
Задача 3. В окружности AB — диаметр, точка C лежит на окружности, а ∠BAC = 28°. Найдите ∠ACB и ∠ABC. Отрезки AB, AC и BC образуют треугольник ABC. Сначала используем свойство угла, опирающегося на диаметр, а затем найдём третий угол треугольника.
Ответ: ∠ACB = 90°, ∠ABC = 62°.
Путать центральный и вписанный углы. Ошибка возникает, если смотреть только на форму угла, а не на место его вершины. У центрального вершина совпадает с центром окружности, у вписанного лежит на окружности. Проверь положение вершины на чертеже, прежде чем выбирать правило.
Считать вписанный угол равным дуге. Можно перепутать градусную меру дуги с мерой угла, который на неё опирается. Вписанный угол равен не всей дуге, а её половине. Для проверки умножь найденный угол на два: должна получиться мера нужной дуги.
Брать не ту дугу. Между концами хорд есть малая и большая дуги, поэтому легко выбрать ту, которая находится вне угла. Посмотри, какая часть окружности лежит внутри угла между его сторонами. Если дана другая дуга, найди нужную вычитанием её меры из 360°.
Утверждать, что любые вписанные углы равны. Такое рассуждение часто появляется из-за того, что углы имеют общую хорду или выглядят похоже. Равенство гарантировано, когда углы опираются на одну и ту же дугу. Сравни концы дуг и проверь их положение относительно вершин углов.
Для этой темы нужно знать, что такое окружность, радиус, хорда и дуга, а также уметь измерять углы в градусах. При построении рассуждений пригодятся свойства равнобедренного треугольника: радиусы одной окружности равны. Они помогают объяснять связь центрального и вписанного углов.
Правила о дугах и углах пригодятся в задачах на хорды и окружности, а позже — при изучении вписанных четырёхугольников. Например, теорема о вписанном угле помогает находить углы четырёхугольника по дугам и проверять, лежат ли его вершины на одной окружности.
Как определить, на какую дугу опирается угол?
Найдите две точки, в которых стороны угла пересекают окружность. Дуга, опирающаяся на угол, лежит внутри угла между этими точками; проверьте, малая она или большая.
Почему вписанный угол вдвое меньше центрального?
Оба угла связаны с одной и той же дугой, а её градусная мера равна центральному углу. Геометрическое рассуждение с радиусами и равнобедренными треугольниками показывает, что вписанный угол составляет половину этой меры.
Всегда ли вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны?
Не всегда: нужно учитывать, на какую именно дугу опирается каждый угол. Если углы опираются на одну и ту же дугу, то они равны, поскольку каждый равен половине её градусной меры.
Почему угол, опирающийся на диаметр, прямой?
Диаметр ограничивает полуокружность, градусная мера которой равна 180°. Вписанный угол равен половине меры дуги, поэтому он равен 90°.
Как найти вписанный угол, если известна большая дуга?
Если угол опирается именно на эту большую дугу, разделите её градусную меру на два. Если известна большая дуга, а угол опирается на малую, сначала найдите меру малой дуги: 360° минус мера большой дуги.
1.3. Центральный и вписанный углы
