1.4. Хорды и дуги

Определения и обозначения

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Например, если точки A и B лежат на окружности, отрезок AB — хорда. Диаметр тоже является хордой, но проходит через центр окружности; различие помогает не путать особый вид хорды с любой другой.

Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Концы хорды AB делят окружность на две дуги: меньшую и большую. Поэтому, называя дугу только по концам, можно допустить неоднозначность; при необходимости уточняют, какая дуга имеется в виду.

Градусная мера дуги — величина, равная градусной мере центрального угла, опирающегося на эту дугу. Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности, а его стороны проходят через концы дуги. Эта мера позволяет выражать дугу числом градусов, не измеряя длину окружности.

Равные дуги — дуги одной окружности или равных окружностей, имеющие одинаковую градусную меру. Равные окружности имеют одинаковые радиусы, поэтому сравнение их дуг и хорд устроено одинаково. Понятие нужно, чтобы связывать равенство дуг с равенством соответствующих хорд.

Как это устроено

Пусть A и B — две точки окружности. Отрезок AB соединяет их внутри круга, а сама окружность между A и B распадается на две части — дуги. Одна из них меньше полуокружности, другая больше; если A и B — концы диаметра, обе дуги являются полуокружностями. Поэтому в записи или условии задачи нужно понимать, какая именно дуга рассматривается: иначе обозначение может относиться к двум разным частям окружности.

Чтобы измерить дугу в градусах, проводят радиусы к её концам и рассматривают центральный угол между ними. Этот угол показывает, какую часть полного оборота занимает дуга: окружности соответствует 360°, а полуокружности — 180°. Поэтому мера выбранной дуги совпадает с мерой угла, который опирается на неё; для большей дуги используют соответствующий большой центральный угол. Эта связь позволяет находить меру дуги по углу и, наоборот, не требует измерять саму дугу линейкой.

Хорда и дуга связаны тем, что их концы совпадают: длина хорды зависит от того, насколько далеко друг от друга расположены эти концы на окружности. Если хорды равны, то центральные углы, опирающиеся на соответствующие меньшие дуги, равны, а значит, равны и дуги. Обратное тоже верно: равные дуги задают равные центральные углы и равные хорды. Эти выводы работают в одной окружности или в равных окружностях, потому что радиусы в них одинаковы; у окружностей разного размера одной меры дуг может соответствовать разная длина хорд.

В одной окружности большая хорда стягивает большую меньшую дугу. Причина в том, что хорде соответствует центральный угол: чем больше этот угол до 180°, тем дальше друг от друга расположены концы хорды и тем длиннее отрезок между ними. Например, хорда, стягивающая дугу 100°, длиннее хорды, стягивающей дугу 60°. Сравнивать так нужно именно меньшие дуги: для больших дуг порядок может запутать, поскольку большей хорде соответствует меньшая из двух дуг с её концами большего размера.

Рассмотрим перпендикуляр OM, опущенный из центра O на хорду AB. Треугольники OMA и OMB прямоугольные: у них равны гипотенузы OA и OB (это радиусы), а OM — общая сторона. Значит, треугольники равны, и отрезки AM и MB одинаковы: перпендикуляр делит хорду пополам. Кроме того, прямая OM проходит через середину меньшей дуги AB: её точка пересечения с окружностью делит эту дугу на две равные части.

Связь между хордами, дугами и центральными углами

Сначала найди в условии таблицы нужное условие, затем проверь, что выполнено ограничение в третьем столбце. После этого используй следствие для сравнения или вычисления. В последней строке требуется именно перпендикуляр из центра, а не любой отрезок, соединяющий центр с хордой.

Разбор задач

Равные хорды и дуги

Условие. В одной окружности хорды AB и CD равны. Сравните меньшие дуги AB и CD. Нужно связать заданное равенство отрезков с дугами, имеющими те же концы. Указание «в одной окружности» позволяет применить соответствующее свойство.

1. Отметим, что AB и CD — равные хорды одной окружности.
2. По свойству окружности равным хордам соответствуют равные дуги.
3. Следовательно, меньшие дуги AB и CD имеют одинаковую градусную меру.

Ответ: меньшие дуги AB и CD равны.

Мера дуги по центральному углу

Условие. Центральный угол AOB равен 72°. Найдите градусную меру меньшей дуги AB. Здесь вершина угла находится в центре окружности, а стороны проходят через концы искомой дуги. Значит, дан именно тот угол, который нужен для определения меры дуги.

1. Используем правило: градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла.
2. Подставим данное значение: мера меньшей дуги AB равна 72°.
3. Угол меньше 180°, поэтому ему соответствует меньшая, а не большая дуга.

Ответ: 72°.

Перпендикуляр из центра к хорде

Условие. В окружности с центром O перпендикуляр OM опущен на хорду AB. Известно, что AB = 18 см, а радиус равен 15 см. Найдите AM и объясните, где расположена точка M относительно дуги AB. В задаче нужно различить середину хорды и середину дуги: это не одна и та же точка. Свойство перпендикуляра определяет положение M на хорде и направление прямой OM.

1. Так как OM перпендикулярен AB и проведён из центра, он делит хорду пополам: AM = MB.
2. Найдём половину длины хорды: AM = AB : 2 = 18 : 2 = 9 см. Радиус для этого вычисления не требуется.
3. Точка M лежит на хорде AB и является её серединой. Прямая OM проходит также через середину меньшей дуги AB, но сама точка M на дуге не лежит.

Ответ: AM = 9 см; M — середина хорды AB, а прямая OM проходит через середину меньшей дуги AB.

Типичные ошибки

Путать дугу с хордой или областью внутри окружности. Хорда — прямой отрезок, а дуга — часть окружности; область внутри окружности называется кругом. Ошибку допускают, потому что все эти объекты связаны с одними и теми же концами. Проверь себя: можно ли пройти по указанному объекту только по линии окружности? Если да, это дуга.

Не уточнять, какая дуга имеется в виду. У двух точек окружности есть меньшая и большая дуги, и их меры различаются. Неуточнённое название может привести к ответу для не той части окружности. Сверься с центральным углом: угол меньше 180° задаёт меньшую дугу, а больший центральный угол — большую.

Переносить свойства на окружности разного размера. Равенство хорд и дуг напрямую связывают для одной окружности или равных окружностей. Ошибка возникает, когда одинаковая градусная мера кажется достаточным основанием для равенства длин хорд. Перед применением теоремы сравни радиусы окружностей; если они не равны, длины хорд могут различаться.

Считать, что любой отрезок из центра делит хорду пополам. Так происходит только с перпендикуляром, проведённым из центра к хорде. Обычный отрезок от центра может пересечь хорду не в её середине. Проверь условие задачи: должно быть указано, что угол между отрезком и хордой прямой, то есть равен 90°.

Связь с другими темами

Для работы с хордами и дугами нужны понятия окружности, радиуса, диаметра и центрального угла, а также знание о перпендикуляре. Свойства темы помогают доказывать равенство отрезков и углов и решать задачи на окружность. Далее они пригодятся при изучении вписанных углов: их свойства тоже связывают углы с дугами и позволяют находить градусные меры.

Что запомнить

• Хорда соединяет две точки окружности.
• Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла.
• Равным хордам соответствуют равные дуги.
• Равным дугам соответствуют равные хорды.
• В одной окружности большей хорде соответствует большая меньшая дуга.
• Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам.