"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Окружность — это линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от её центра. Она отличается от круга: круг включает не только границу, но и внутреннюю область. Расстояние от центра до окружности называют радиусом, а отрезок между двумя её точками — хордой. Особая хорда, проходящая через центр, называется диаметром и равна двум радиусам. Эти понятия нужны для геометрических построений и решения задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — множество точек плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Это только линия, а не вся область внутри неё. Круг, в отличие от окружности, включает и эту линию, и точки внутри неё. Такое различие помогает точно понимать, какую фигуру описывает условие задачи.
Точка, от которой все точки окружности удалены на одно и то же расстояние, называется центром окружности. Обычно центр обозначают буквой O. Если известны центр и расстояние до окружности, можно задать всю окружность. Поэтому центр служит опорной точкой для построения и измерений.
Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой; радиусом также называют длину этого отрезка. Например, если A лежит на окружности, отрезок OA — радиус, а его длину обозначают R. Нужно различать сам отрезок и его числовую длину. Радиус показывает, на каком расстоянии от центра проходит окружность.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Если точки A и B лежат на окружности, отрезок AB является хордой. Её концы всегда находятся на окружности, хотя сама хорда обычно проходит внутри круга. Хорды помогают описывать и сравнивать отрезки, проведённые между точками окружности.
Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Его длину часто обозначают d; например, если A и B — концы диаметра, то AB = d. Центр лежит на этом отрезке и делит его на два радиуса. Поэтому диаметр равен двум радиусам: d = 2R.
Чтобы задать окружность, нужно выбрать точку O и расстояние R. Затем следует представить все точки, удалённые от O ровно на R: они и составят окружность. Если расстояние будет меньше или больше R, точка окажется не на этой линии. Так центр вместе с радиусом однозначно определяют окружность.
Все радиусы одной окружности равны не потому, что отрезки случайно получились одинаковыми. По определению каждая точка окружности удалена от центра на одно и то же расстояние R. Радиус соединяет центр именно с такой точкой, значит, длина каждого радиуса равна R. Поэтому можно провести много радиусов, но их длины не изменятся.
Хорда связывает пару точек, выбранных на окружности, поэтому у неё оба конца лежат на этой линии. У разных хорд могут быть разные длины и положение. Диаметр — особый случай хорды: его концы тоже лежат на окружности, но сам отрезок дополнительно проходит через центр. Именно это условие отличает диаметр от остальных хорд.
Диаметр разделяется центром на две части, потому что проходит через него. Каждая часть соединяет центр с точкой окружности, а значит, является радиусом. Обе части равны R, поэтому длина всего диаметра складывается из двух радиусов: d = R + R = 2R. Если известен диаметр, радиус находят обратным действием: R = d / 2.
Для построения окружности заданного радиуса отметь центр, измерь циркулем нужное расстояние и поставь иглу в центр. Проведи полный оборот, не меняя раскрытия циркуля: карандаш будет всё время находиться на расстоянии R от иглы. Проверить точку на чертеже можно линейкой: измерь расстояние от центра до неё. Если оно равно R, точка лежит на окружности; иначе она расположена внутри или снаружи.
| Элемент | Что означает | Обозначение и связь |
|---|---|---|
| Центр окружности | Точка, равноудалённая от всех точек окружности | O |
| Радиус | Отрезок от центра до точки окружности и его длина | OA; длина обозначается R |
| Хорда | Отрезок между двумя точками окружности | AB |
| Диаметр | Хорда, проходящая через центр | d = 2R |
Сначала найдите в условии или на чертеже нужный элемент, а затем сверьте его определение с таблицей. Если требуется перейти от радиуса к диаметру или обратно, используйте формулу из последнего столбца. По таблице также можно проверить, верно ли назван отрезок: у диаметра обязательно должна быть точка O.
Нужно получить линию, все точки которой удалены от O на 3 см. Для этого подойдёт циркуль: его раскрытие задаст требуемое расстояние. Точку A можно выбрать в любом месте уже построенной линии, если расстояние OA равно 3 см.
Проверим построение: измерим OA линейкой. Если OA = 3 см, точка A лежит на построенной окружности, а радиус задан правильно. Ответ: окружность с центром O и радиусом 3 см построена.
Дано R = 4 см, требуется найти d. Диаметр проходит через центр, поэтому он состоит из двух радиусов. Значит, нужно сложить длины двух равных частей, а не принять диаметр за один радиус.
Полученное значение больше радиуса в два раза, как и должно быть. Единица измерения сохраняется: длина диаметра выражена в сантиметрах. Ответ: 8 см.
Известно, что d = 10 см, а длина предполагаемой хорды равна 12 см. Сначала найдём радиус, чтобы описать окружность, а затем сравним хорду с диаметром. Это сравнение важно, потому что диаметр является самой длинной хордой.
Получившийся радиус согласуется с диаметром: два отрезка по 5 см составляют 10 см. Хорда длиной 12 см оказалась бы длиннее самой длинной хорды данной окружности. Ответ: радиус равен 5 см, хорда длиной 12 см принадлежать окружности не может.
Ошибка — называть круг окружностью. Так бывает, потому что в обычной речи этими словами часто обозначают одну и ту же фигуру. В геометрии окружность — только граница, а круг включает и внутренние точки. Проверь себя: если в описании есть вся область внутри линии, речь идёт о круге.
Иногда радиусом называют только число, забывая, что это слово обозначает и отрезок от центра до окружности. Путаница возникает из-за того, что в задаче часто спрашивают длину радиуса. Различай отрезок OA и его длину, например OA = 4 см. Проверь, что один конец отрезка — центр, а другой лежит на окружности.
Не всякая хорда является диаметром. Их путают, потому что оба отрезка соединяют точки окружности. Но для диаметра есть дополнительное условие: он должен проходить через центр. Чтобы проверить себя, посмотри, лежит ли центр на хорде.
Запись d = R неверна: диаметр состоит из двух радиусов, а не из одного. Ошибка появляется, если не учесть точку центра, которая делит диаметр на две части. Правильная формула — d = 2R. Для проверки подставь простой пример: при R = 4 см диаметр должен быть 8 см, а не 4 см.
Для работы с окружностью нужно знать, что такое точка и отрезок, уметь находить расстояние между точками и пользоваться циркулем. Эти навыки позволяют правильно понимать определения и выполнять построения заданного радиуса. Окружность пригодится при геометрических построениях и изучении взаимного расположения фигур. Её элементы также используются при разборе свойств треугольников и других геометрических задач.
Чем окружность отличается от круга?
Окружность состоит только из точек, одинаково удалённых от центра. Круг включает окружность и все точки внутри неё.
Может ли радиус быть проведён не к точке окружности?
Нет, радиусом называют отрезок от центра именно до точки окружности. Отрезок от центра к точке внутри круга не является радиусом окружности.
Любая ли хорда является диаметром?
Нет, хорда становится диаметром только тогда, когда проходит через центр. Остальные хорды соединяют две точки окружности, но через центр не проходят.
Почему диаметр в два раза больше радиуса?
Центр делит диаметр на две части. Каждая часть — радиус, поэтому длина диаметра равна сумме двух радиусов: d = 2R.
Может ли хорда быть длиннее диаметра?
Нет, диаметр — самая длинная хорда окружности. Поэтому хорда длиной больше диаметра не может принадлежать этой окружности.
1.12 Окружность
