1.13 О симметрии

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование, при котором точка и её образ лежат по разные стороны от прямой, а эта прямая перпендикулярна отрезку между ними и делит его пополам. Такая прямая называется осью отражения. Определение помогает точно построить образ точки и проверить, верно ли выполнено отражение.

Ось симметрии фигуры — прямая, при отражении относительно которой фигура совмещается сама с собой. Например, если отражённая часть фигуры точно накладывается на исходную, прямая подходит. Это понятие нужно, чтобы описывать симметричные фигуры и находить прямые, которые делят их на совпадающие части.

Центральная симметрия — преобразование, при котором центр симметрии является серединой отрезка, соединяющего точку с её образом. Иными словами, точка и образ находятся на одной прямой по разные стороны от центра и на равных расстояниях от него. Определение задаёт способ построения образа и помогает отличить центральную симметрию от отражения относительно прямой.

Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой фигура совмещается сама с собой при центральной симметрии. Для проверки нужно сопоставить каждую точку фигуры с её образом относительно этой точки. Понятие позволяет установить, обладает ли фигура центральной симметрией.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную точке A относительно прямой l, сначала определи кратчайшее расстояние от A до l. Для этого из A проведи перпендикуляр к l: он пересечёт прямую в точке H. На продолжении AH за прямую отметь точку A′ так, чтобы HA′ = HA. Именно основание H, а не произвольная точка прямой, служит началом отсчёта: тогда l проходит через середину AA′ и перпендикулярна этому отрезку.

Точка и её образ при осевой симметрии лежат на перпендикуляре к оси, потому что ось делит соединяющий их отрезок пополам под прямым углом. Отсюда следует, что расстояния от точки и образа до оси равны. Если точка уже лежит на оси, её расстояние до прямой равно нулю, поэтому при отражении она не перемещается. Эти свойства позволяют не только строить образ, но и проверять готовый чертёж.

Для построения образа A′ точки A относительно центра O проведи прямую через A и O. На её продолжении за O отложи отрезок OA′, равный OA. Тогда O окажется серединой AA′, как и требует определение центральной симметрии. Если A совпадает с O, образ тоже совпадает с O: центр при таком преобразовании остаётся на месте.

Центральную симметрию можно представить как поворот на 180° вокруг точки O. При повороте фигура меняет положение, но не растягивается и не сжимается: расстояния между соответствующими точками остаются прежними. Не меняются и величины углов, потому что поворачиваются обе стороны каждого угла на одинаковую величину. Поэтому образ любой фигуры при центральной симметрии равен исходной фигуре.

Чтобы проверить, является ли прямая осью симметрии, построй отражение фигуры относительно неё и сравни полученный образ с исходной фигурой. Для проверки центра построй образы точек так, чтобы предполагаемый центр был серединой каждого отрезка между точкой и её образом. Если преобразование совмещает с исходной всю фигуру, прямая или точка действительно задаёт симметрию. Совпадения лишь отдельных вершин или частей для вывода недостаточно.

Сравнение осевой и центральной симметрии

Пользуйся таблицей, чтобы сначала определить, что задаёт преобразование: прямую или точку. Затем проверь положение точки и её образа — это главный признак, по которому различают два вида симметрии. В последней строке указано их общее свойство: обе симметрии сохраняют размеры фигур.

Разбор задач

Задача 1. Точка A находится на расстоянии 3 см от прямой l. Постройте точку, симметричную A относительно l. Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, поэтому сначала нужно определить его основание. Образ должен оказаться на таком же расстоянии от прямой, но с другой стороны.

1. Проведите из A перпендикуляр к l и обозначьте точку пересечения буквой H.
2. На продолжении AH за прямую l отметьте A′ так, чтобы HA′ = 3 см.
3. Проверьте, что HA = HA′, а отрезок AA′ перпендикулярен l.

Ответ: точка A′, лежащая по другую сторону l на расстоянии 3 см от неё. Точка H — середина AA′, поэтому прямая l является серединным перпендикуляром к этому отрезку. Это подтверждает, что построение выполнено по определению осевой симметрии.

Задача 2. Дан треугольник ABC и прямая l. Постройте треугольник, симметричный ABC относительно l. У треугольника достаточно построить образы вершин: образ каждой стороны будет отрезком, соединяющим образы её концов. Поэтому отдельно отражаем A, B и C, а затем соединяем полученные точки в соответствующем порядке.

1. Из A, B и C проведите перпендикуляры к l.
2. На другой стороне l отметьте A′, B′ и C′, отложив от оснований перпендикуляров равные исходным расстояния.
3. Соедините A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′.

Ответ: треугольник A′B′C′. Каждая его вершина симметрична соответствующей вершине исходного треугольника. Порядок соединения сохраняет соответствие сторон и не позволяет случайно получить другую фигуру.

Задача 3. Дан четырёхугольник ABCD и точка O. Постройте образ при центральной симметрии с центром O и докажите, что образ равен исходному четырёхугольнику. Сначала построим образы всех вершин, используя условие, что O — середина каждого отрезка между вершиной и её образом. Затем воспользуемся тем, что центральная симметрия сохраняет длины и величины углов.

1. Проведите прямые AO, BO, CO и DO.
2. На продолжениях за O отметьте A′, B′, C′ и D′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB, OC′ = OC и OD′ = OD.
3. Соедините A′, B′, C′ и D′ в том же порядке, что и вершины исходного четырёхугольника.
4. Сопоставьте соответствующие стороны и углы: при повороте на 180° их величины не меняются.

Ответ: A′B′C′D′ — образ ABCD, равный ему четырёхугольник. Равенство следует из сохранения расстояний и углов при центральной симметрии. Каждой вершине исходной фигуры соответствует её образ, а стороны и углы сохраняют прежние размеры.

Типичные ошибки

• Если образ отложить не по перпендикуляру к оси, ось не будет серединным перпендикуляром к отрезку между точками. Так ошибаются, когда ориентируются только на равные расстояния и забывают про прямой угол. Проверьте и перпендикулярность, и равенство частей отрезка.

• При построении относительно прямой расстояние откладывают от произвольной точки оси, а не от основания перпендикуляра. Это кажется удобным, но выбранный отрезок может не показывать расстояние от точки до прямой. Найдите основание перпендикуляра и откладывайте равную длину именно от него.

• Иногда считают, что при центральной симметрии центр — конец отрезка между точкой и образом. Тогда точка и её образ окажутся не на равных расстояниях от центра. Проверьте, что центр лежит между ними и делит отрезок пополам.

• Можно проверить только отдельные элементы фигуры и решить, что она симметрична. Но совпадение пары вершин или сторон не означает, что совмещается вся фигура. Постройте образ всех её точек или вершин и убедитесь, что образ целиком совпадает с исходной фигурой.

Связь с другими темами

Для построений симметричных точек понадобятся уже знакомые понятия: перпендикулярные прямые, середина отрезка и построение перпендикуляра. Свойство сохранения расстояний и углов связывает симметрию с равенством фигур: образ при симметрии имеет те же размеры, что и исходная фигура. При изучении многоугольников можно искать их оси симметрии и проверять, как отдельные части фигуры совмещаются при отражении. Эти знания пригодятся и при выполнении точных геометрических чертежей.

Что запомнить

• При осевой симметрии ось — серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точку с её образом.
• Точки на оси симметрии не перемещаются.
• При центральной симметрии центр является серединой отрезка между точкой и её образом.
• Центральная симметрия соответствует повороту на 180° вокруг центра.
• Осевая и центральная симметрия сохраняют расстояния и величины углов.
• Фигура симметрична, если при преобразовании совмещается сама с собой.