21. Окружность

Определения и обозначения

Окружность — это линия, состоящая из точек, равноудалённых от одной точки. Эта точка называется центром окружности и часто обозначается буквой O. Так можно задать окружность: выбрать центр и расстояние, на котором от него будут располагаться все её точки. Окружность не включает внутреннюю область.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Его длиной тоже называют радиус, если ясно, что речь идёт о величине. Все радиусы одной окружности равны, потому что каждый соединяет центр с точкой, находящейся от него на одинаковом расстоянии. Радиус помогает задавать размер окружности.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Например, если A и B лежат на окружности, отрезок AB является хордой. Её концы обязательно должны находиться на окружности, а не просто внутри круга. Хорда показывает, как связаны между собой две точки окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Поэтому его концы лежат на окружности, а центр находится на самом отрезке. Диаметр можно представить как два радиуса, соединённых концами в центре. Если радиус равен r, то диаметр равен 2r.

Как это устроено

Чтобы задать окружность, достаточно выбрать точку O и расстояние r. Все точки, отстоящие от O ровно на r, образуют окружность, а точки на других расстояниях к ней не относятся. Поэтому центр и радиус определяют её положение и размер. Если центр оставить прежним, но изменить радиус, получится окружность другого размера.

Любой отрезок от центра до точки окружности называют радиусом, потому что его концы соответствуют определению: один находится в центре, другой — на окружности. Равенство всех радиусов следует из самого устройства окружности: расстояние от центра до каждой её точки одно и то же. Поэтому в записи геометрической задачи можно использовать один символ r для радиусов одной окружности. Это удобно, когда нужно сравнить или вычислить длины её элементов.

Хорда связывает две точки, уже принадлежащие окружности, поэтому её концы лежат на линии, а середина отрезка может оказаться внутри круга. Радиус устроен иначе: один его конец — центр, который не лежит на окружности. Из-за расположения концов радиус сам по себе не является хордой. Например, отрезок между двумя точками окружности остаётся хордой, даже если он не проходит через центр.

Диаметр отвечает определению хорды, так как соединяет две точки окружности. Его особенность в том, что через него проходит центр, поэтому он делится центром на два отрезка от центра до окружности. Каждый из них — радиус, и оба равны. Следовательно, длина диаметра равна сумме двух радиусов: d = r + r = 2r.

Центр можно найти и тогда, когда он не отмечен на чертеже. Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, которая проходит через его середину под прямым углом; для любой точки этой прямой расстояния до концов отрезка равны. Концы хорды равноудалены от центра, значит, центр лежит на серединном перпендикуляре к этой хорде. Построив такие перпендикуляры к двум непараллельным хордам, находят их пересечение: это центр окружности.

Элементы окружности и их свойства

Сначала найдите, где расположены концы отрезка, а затем проверьте, проходит ли он через центр. Так легко отличить радиус от хорды и распознать диаметр. Строки таблицы также подсказывают, какие свойства использовать в задаче.

Разбор задач

Радиусы и хорда на чертеже

На окружности с центром O отмечены точки A и B. Требуется назвать изображённые радиусы и хорду. Смотрим на концы каждого отрезка, а не только на то, где он нарисован. Назвать можно лишь те элементы, которые действительно соединены на чертеже.

1. Отрезки OA и OB соединяют центр O с точками окружности A и B, поэтому это радиусы.
2. Отрезок AB соединяет две точки окружности, значит, это хорда.
3. Если AB проходит через O, он одновременно является диаметром; если не проходит, это только хорда.

Такой порядок проверки подходит и для других чертежей. Важно не называть хордами любые линии внутри круга: нужно убедиться, что оба конца лежат на окружности. Ответ: OA и OB — радиусы, AB — хорда; если AB проходит через O, то это также диаметр.

Найти диаметр по радиусу

Радиус окружности равен 4 см. Нужно найти диаметр. По определению диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов. Поэтому вместо измерения чертежа можно воспользоваться связью d = 2r.

1. Записываем известное: r = 4 см.
2. Подставляем радиус в формулу: d = 2r = 2 · 4 см.
3. Выполняем умножение и оставляем единицу измерения: d = 8 см.

Проверка: диаметр должен быть длиннее радиуса в два раза, и 8 см вдвое больше 4 см. Если бы в условии был известен диаметр, радиус можно было бы найти делением его длины на 2. Ответ: 8 см.

Построить центр по двум хордам

Даны две хорды окружности, а положение центра не указано. Нужно найти точку, которая равноудалена от концов каждой хорды. Для этого используем серединные перпендикуляры: центр окружности равноудалён от концов любой хорды. Хорды должны быть непараллельными, чтобы построения пересеклись в одной точке.

1. На первой хорде отмечаем середину и проводим через неё перпендикуляр к хорде.
2. Так же строим серединный перпендикуляр ко второй хорде.
3. Отмечаем точку пересечения прямых: она и есть центр окружности.

Почему построение работает: центр равноудалён от концов каждой хорды, а точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре. Поэтому искомый центр находится сразу на обеих построенных прямых. Ответ: центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к хордам.

Типичные ошибки

Иногда окружностью называют круг вместе с внутренней областью. Это происходит потому, что в быту слова часто используют как синонимы, но в геометрии окружность — только линия, а круг включает внутреннюю часть. Проверьте себя: если речь идёт о точках на одинаковом расстоянии от центра, это окружность. Если включена область внутри линии, это круг.

Радиусом могут назвать только длину и забыть, что так называется ещё и отрезок от центра до окружности. Путаница возникает, потому что слово используют и для геометрической фигуры, и для её меры. Проверка простая: если просят показать радиус, укажите отрезок, а если найти его величину — назовите длину с единицами. Не смешивайте объект и число.

Любой отрезок внутри круга иногда ошибочно принимают за хорду. Причина — он похож на соединение точек, но для хорды важно, где именно находятся его концы. Проверьте каждый конец: оба должны лежать на окружности. Если хотя бы один конец внутри круга, отрезок не является хордой.

Диаметр путают с радиусом или считают, что он не относится к хордам. Это происходит из-за особого положения диаметра: он проходит через центр и выглядит как отдельный элемент. Но его концы лежат на окружности, поэтому диаметр — частный случай хорды. Для проверки убедитесь, что отрезок проходит через центр, и вспомните: его длина равна двум радиусам.

Связь с другими темами

Для построения окружности и нахождения её центра пригодятся знания об отрезке, середине отрезка, перпендикуляре и серединном перпендикуляре. Умение пользоваться циркулем и линейкой позволяет чертить окружности заданного радиуса и восстанавливать центр по хордам. Эти элементы понадобятся при изучении взаимного расположения прямых и окружностей. Например, радиус и диаметр помогут описать размеры окружности, а хорды — её отрезки между точками.

Что запомнить

• Все точки окружности равноудалены от её центра.
• Расстояние от центра до точки окружности — радиус.
• Хорда соединяет две точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Диаметр равен двум радиусам.
• Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.