20. Третий признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Третий признак равенства треугольников — правило, по которому равенство треугольников устанавливают по равенству трёх пар соответствующих сторон. Например, если у двух треугольников равны все стороны, соединяющие сопоставленные вершины, треугольники равны. Этот признак полезен, когда длины сторон известны, а углы находить или сравнивать не требуется.

Соответствующие стороны — стороны, которые сопоставляются друг другу при записи равенства треугольников. Если вершины A, B, C сопоставлены вершинам D, E, F соответственно, то сторонам AB, BC, AC соответствуют DE, EF, DF. Такое сопоставление нужно, чтобы сравнить именно те стороны, которые соединяют соответствующие вершины, а не просто любые стороны одинаковой длины.

Соответствующие вершины — вершины двух фигур, сопоставленные друг другу. В равенстве △ABC = △DEF порядок букв означает, что A соответствует D, B — E, а C — F. Благодаря этому порядку можно без догадок установить соответствующие стороны и углы, а затем правильно записать вывод о равенстве треугольников.

Как это устроено

Формулировка третьего признака такова: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны. Стороны должны быть именно соответствующими, то есть соединять сопоставленные вершины. Почему этого достаточно? Три длины задают форму треугольника: при фиксированных длинах сторон нельзя получить другой треугольник, который не совпадал бы с исходным при наложении или зеркальном отражении.

Сначала определяют, какие вершины соответствуют друг другу, а потом записывают равенства сторон. Например, при сопоставлении A с D, B с E, C с F получают AB = DE, BC = EF и AC = DF. Порядок важен, потому что сторона AB соединяет первые две сопоставленные вершины, а DE — соответствующую им пару. Если записать вершины в другом порядке, пары сторон могут измениться.

Доказательство признака можно представить наложением треугольников. Совместим равные стороны AB и DE так, чтобы A совпала с D, а B — с E. Это возможно, потому что длины этих отрезков равны. Теперь третья вершина первого треугольника отстоит от концов общей стороны на длины AC и BC, а вершина второго — на равные им DF и EF.

Почему третьи вершины при таком наложении совпадают? Точка, находящаяся на расстоянии AC от A, лежит на окружности с центром A и радиусом AC; одновременно она должна находиться на расстоянии BC от B. Значит, она лежит и на окружности с центром B и радиусом BC. Для второй вершины получаются те же окружности, ведь соответствующие длины равны.

Две такие окружности пересекаются в точках, расположенных по разные стороны от общей стороны, а выбранная третья вершина находится с определённой стороны от неё. Поэтому при наложении третьи вершины совпадают, и треугольники совмещаются полностью. Так обосновывается их равенство. Для применения признака достаточно проверить равенство трёх пар сторон: равенство углов отдельно доказывать не нужно.

Третий признак равенства треугольников

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала зафиксируй соответствие вершин, затем проверь каждую пару сторон. Если равенство третьей пары ещё не известно, признак пока применять нельзя. Последняя строка показывает вывод, который разрешено сделать только после проверки всех трёх пар.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и DEF даны AB = DE, BC = EF, AC = DF. Докажите, что треугольники равны. Равные стороны показывают, какие вершины нужно сопоставить: AB и DE задают пару A–D, B–E, а оставшиеся вершины — C–F. Запишем доказательство по шагам.

1. Из AB = DE следует соответствие сторон AB и DE, а из BC = EF — соответствие BC и EF. Общая для первых двух сторон вершина B соответствует общей вершине E.
2. Оставшиеся вершины сопоставляются как A с D и C с F; это согласуется с равенством AC = DF. Значит, равны все три пары соответствующих сторон.
3. По третьему признаку △ABC = △DEF. Ответ: треугольники равны.

Задача 2. Периметры двух треугольников равны, и две пары соответствующих сторон равны. Можно ли заключить, что треугольники равны? Обозначим общие длины известных пар через a и b, а третьи стороны через x и y. Периметры равны, значит, a + b + x = a + b + y, откуда x = y.

1. Установим соответствие сторон и запишем равенства двух известных пар: a = a и b = b.
2. Из равенства периметров вычтем одинаковую сумму a + b. Получим x = y, то есть равны и третьи соответствующие стороны.
3. Все три пары сторон равны, поэтому по третьему признаку треугольники равны. Ответ: да, при указанных дополнительных условиях можно заключить, что они равны.

Задача 3. Точки M и N лежат по одну сторону от прямой AB; AM = AN и BM = BN. Докажите, что AB делит угол MAN пополам. Сравним треугольники AMB и ANB: у них есть общая сторона AB, а две остальные пары равны по условию. Равенство треугольников позволит сравнить углы при вершине A.

1. AM = AN и BM = BN даны, а AB = AB, потому что это одна и та же сторона обоих треугольников.
2. По третьему признаку △AMB = △ANB. При этом соответствию A–A, M–N, B–B отвечает равенство углов MAB и BAN.
3. Равные углы MAB и BAN означают, что луч AB делит угол MAN на два равных угла. Ответ: AB — биссектриса угла MAN.

Типичные ошибки

Сравнивают стороны, не определив соответствие вершин. Так можно случайно сопоставить стороны, которые соединяют разные пары вершин, и получить неверный вывод. Ошибку допускают, когда выбирают равные по длине стороны, не проверяя порядок букв. Для проверки подпиши пары соответствующих вершин и убедись, что каждая сравниваемая сторона соединяет нужную пару.

Считают достаточными две пары равных сторон. Две длины ещё не фиксируют третий край треугольника, поэтому возможны треугольники с разными третьими сторонами. Обычно забывают проверить последнее условие признака. Перед выводом перечисли все три пары и поставь отметку напротив каждой доказанной равенства.

Принимают равенство периметров за равенство треугольников. Периметр — это сумма длин сторон; одинаковую сумму можно получить из разных наборов длин. Путаница возникает из-за того, что периметр учитывает сразу все стороны, но не сообщает каждую длину отдельно. Проверь, известны ли равенства соответствующих сторон; периметры помогут найти третьи только при дополнительных данных, например равенстве двух пар.

Нарушают порядок вершин в записи равенства. Даже если стороны подобраны правильно, запись с неверным порядком букв сообщает другое соответствие. Это случается, когда вершины перечисляют наугад, а не по установленным парам. Перед записью результата проверь каждую позицию: первая вершина соответствует первой, вторая — второй, третья — третьей.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно понимать, что значит равенство треугольников, и уметь указывать соответствующие вершины и стороны. Эти понятия помогают установить, какие элементы сравнивать, прежде чем делать вывод. Если порядок соответствия выбран неверно, даже правильные длины не дадут корректной записи доказательства.

В доказательствах также используют первый и второй признаки равенства треугольников, а после установления равенства фигур — свойства их соответствующих элементов. Выбор признака зависит от того, какие данные даны: стороны, углы или их сочетания. Поэтому сначала полезно выписать известные условия, а уже затем решать, какой признак применить.

Третий признак помогает доказывать равенство отрезков и углов: достаточно подобрать треугольники, для которых выполняются три равенства сторон. Такой способ встречается в задачах о медианах, биссектрисах и симметричных построениях. После равенства треугольников можно перенести вывод на соответствующие стороны или углы.

Что запомнить

• Третий признак сравнивает три пары соответствующих сторон.
• Если все три пары сторон равны, треугольники равны.
• Соответствие сторон определяют по соответствию вершин.
• Равенство только двух пар сторон недостаточно.
• Равенство периметров само по себе не означает равенства треугольников.
• После доказательства равенства треугольников можно заключать о равенстве их соответствующих элементов.