§ 11. Третий признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Третий признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны. Например, если AB = DE, BC = EF и AC = DF, то треугольники ABC и DEF равны. Признак помогает доказать равенство фигур, не измеряя их углы.

Соответствующие стороны — стороны двух треугольников, которые занимают одинаковое положение при сопоставлении их вершин. Если вершины сопоставлены так: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F, соответствуют стороны AB и DE, BC и EF, AC и DF. Это понятие нужно, чтобы не сравнить стороны, относящиеся к разным парам вершин.

Равные треугольники — треугольники, которые можно совместить наложением; при этом совпадают их соответствующие вершины и стороны. Это значит, что у них одинаковы не только длины сторон, но и соответствующие углы. Такое понимание помогает после доказательства равенства находить другие равные элементы.

Как это устроено

Для применения третьего признака сравнивают стороны двух конкретных треугольников, а не любые три отрезка. Стороны должны принадлежать именно этим треугольникам, иначе условие признака не относится к рассматриваемым фигурам. Кроме того, их надо попарно сопоставить по вершинам: например, AB — с DE, а не случайно выбранной стороной другого треугольника. Поэтому перед проверкой полезно выписать соответствие вершин.

Если все три пары соответствующих сторон равны, они задают одинаковую форму треугольников. Представьте, что одну равную сторону совместили с другой: вершины концов этой стороны совпали. Третья вершина должна находиться на заданном расстоянии от обоих концов, и при тех же трёх длинах положение треугольника определяется однозначно с каждой стороны от общей стороны. Поэтому треугольники можно наложить так, чтобы совпали все их стороны и вершины.

В доказательстве сначала совмещают одну пару равных сторон. Затем сравнивают положение третьих вершин относительно этой общей стороны: расстояния от каждой вершины до обоих концов заданы двумя оставшимися равными сторонами. Значит, вершины оказываются в одинаковом положении по одну и ту же сторону от общей стороны; если они расположены по разные стороны, один треугольник можно перевернуть при наложении. В школьных доказательствах равенство также обосновывают через ранее изученные признаки: например, после равенства двух сторон и угла между ними применяют первый признак.

Порядок букв в записи равенства треугольников зависит от соответствия вершин. Если AB = DE, BC = EF и AC = DF, то общая для первых двух сторон вершина B соответствует E; так же определяются пары A ↔ D и C ↔ F. Следовательно, запись будет ΔABC = ΔDEF, а не запись со случайным порядком букв. По доказанному равенству можно затем заключить, что, например, ∠B = ∠E.

В задаче сначала выписывают известные равенства и устанавливают, каким треугольникам принадлежат стороны. Затем проверяют, есть ли три пары соответствующих равных сторон, и только после этого применяют третий признак. Если требуется найти угол или сторону, переходят к соответствующим элементам уже доказанных равных треугольников. Такой порядок отделяет доказательство равенства от дальнейшего вывода.

Признаки равенства треугольников

В таблице показано, какие данные позволяют доказать равенство треугольников. Сначала определите, какие элементы известны в задаче, а затем выберите признак, которому они соответствуют. Для третьего признака нужны все три пары равных соответствующих сторон.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и DEF стороны AB и DE, BC и EF, AC и DF попарно равны. Докажите, что треугольники равны.

1. По равенствам AB = DE, BC = EF и AC = DF сопоставим вершины: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.
2. Проверим, что сравниваются все три стороны обоих треугольников: AB с DE, BC с EF, AC с DF.
3. По третьему признаку треугольники равны. Записываем равенство в установленном порядке: ΔABC = ΔDEF.

Ответ: ΔABC = ΔDEF.

Задача 2. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ известно, что AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁. Найдите угол B₁, если угол B равен 47°.

1. Равенства сторон показывают соответствие A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁.
2. Все три пары соответствующих сторон равны, поэтому по третьему признаку ΔABC = ΔA₁B₁C₁.
3. У равных треугольников соответствующие углы равны. Углу B соответствует угол B₁, значит, ∠B₁ = ∠B = 47°.

Ответ: 47°.

Задача 3. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O, причём AO = CO и BO = DO. Докажите, что AB = CD.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. По условию AO = CO и BO = DO.
2. Углы AOB и COD — вертикальные, поэтому они равны. Это углы между равными сторонами в каждом из треугольников.
3. По первому признаку ΔAOB = ΔCOD. Стороны AB и CD соответствуют друг другу, следовательно, AB = CD.

Ответ: AB = CD. Здесь третий признак нельзя применить сразу: равенство искомых третьих сторон ещё нужно доказать, поэтому используем первый признак.

Типичные ошибки

Сравнивать только две пары сторон. Так делают, потому что две известные длины кажутся достаточными для узнавания фигуры. Но третий признак требует трёх пар, а при двух парах форма может отличаться. Проверьте, что для каждой стороны первого треугольника указана равная сторона второго.

Неверно сопоставлять стороны. Если выписать равенства в случайном порядке, можно ошибиться в записи равных треугольников и в выводе о соответствующих углах. Ошибку допускают, когда не смотрят, какие стороны сходятся в одной вершине. Проверьте соответствие по общим вершинам сторон, а затем запишите вершины в одном порядке.

Принимать любые три равных отрезка за условие признака. Сам факт равенства длин ещё не доказывает равенство двух треугольников: отрезки могут не принадлежать им. Чтобы проверить себя, назовите оба сравниваемых треугольника и укажите, какая сторона каждого входит в каждую пару.

Сразу заключать, что углы или стороны равны. Это допустимо лишь после доказательства равенства треугольников; иначе вывод не обоснован. Такая ошибка возникает, когда равные элементы предполагают по рисунку. Сначала укажите признак и докажите равенство фигур, а потом назовите соответствующие элементы.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое треугольник, его стороны и углы, и уметь обозначать равные отрезки и фигуры. Также важно сопоставлять элементы двух треугольников и применять первый и второй признаки равенства. Новый признак дополняет их способом доказательства по трём сторонам. Он пригодится при доказательстве геометрических утверждений, поиске неизвестных элементов и дальнейшем изучении свойств треугольников.

Что запомнить

• Третий признак сравнивает три пары соответствующих сторон.
• Все три равенства сторон должны относиться к одной и той же паре треугольников.
• По третьему признаку можно доказать равенство треугольников.
• У равных треугольников равны соответствующие стороны и углы.
• Перед применением признака нужно правильно установить соответствие вершин.
• Равенство только двух пар сторон не позволяет применить третий признак.