§ 11. Третий признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Равными называют треугольники, которые при наложении полностью совпадают. Значит, у них равны соответствующие стороны и углы, то есть те, которые занимают одинаковые места. Это определение помогает понимать, что именно нужно доказать: не просто равенство отдельных отрезков, а совпадение всей фигуры.

Соответственные вершины — вершины, которые при наложении равных треугольников совпадают; соответствующие стороны соединяют такие вершины. По порядку букв в записи ΔABC = ΔDEF видно, что A соответствует D, B — E, C — F. Поэтому AB соответствует DE, BC — EF, а AC — DF; порядок нужен, чтобы не перепутать элементы при доказательстве.

Третий признак равенства треугольников утверждает: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны. Например, если AB = DE, BC = EF и AC = DF, то ΔABC = ΔDEF. Этот признак позволяет установить равенство фигур по длинам сторон, не сравнивая углы отдельно.

Запись равенства треугольников всегда показывает соответствие вершин. В равенстве ΔABC = ΔDEF первая буква первого треугольника соответствует первой букве второго, и так далее. Если вершины сопоставлены иначе, нужно изменить порядок букв, иначе запись может неверно указывать соответствующие стороны и углы.

Как это устроено

Почему для равенства треугольников достаточно сравнить три пары сторон? Представьте, что на чертеже заданы длины всех трёх сторон и одну сторону уже отложили. Третья вершина должна находиться на заданном расстоянии от обоих концов этой стороны, то есть на пересечении двух окружностей. При выполнении неравенств треугольника такое пересечение задаёт единственное положение вершины с каждой стороны от основания, а два полученных треугольника совмещаются переворотом.

Это объясняет построение треугольника по трём сторонам. Сначала проводят отрезок длины одной стороны, затем из его концов проводят дуги радиусами, равными двум другим сторонам. Их точка пересечения становится третьей вершиной, а соединение с концами отрезка завершает построение. Неравенства треугольника требуют, чтобы сумма любых двух сторон была больше третьей; без этого дуги не дадут треугольник, а при выполнении условий форма определяется однозначно с точностью до наложения.

Чтобы по равенству длин сторон получить соответствие вершин, отметьте, какие стороны сходятся в каждой вершине. Если AB = DE, BC = EF и AC = DF, то сторонам AB и AC, сходящимся в A, соответствуют DE и DF, сходящиеся в D. Поэтому A соответствует D; по тому же правилу B соответствует E, а C — F. Теперь можно записать ΔABC = ΔDEF и применить признак.

Доказательство удобно строить в одном порядке: указать равные стороны, проверить их соответствие, назвать признак и сделать вывод. Недостаточно перечислить три равенства, если неясно, какие вершины сопоставлены. Например, при AB = DE, BC = EF и AC = DF стороны сходятся попарно в вершинах A и D, B и E, C и F. Значит, по третьему признаку ΔABC = ΔDEF.

После установления равенства треугольников можно сравнивать все их соответствующие элементы. Это возможно потому, что при наложении фигуры совпадают целиком, а не только имеют одинаковые стороны. Например, из ΔABC = ΔDEF следует, что ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F, а также равенство соответствующих сторон.

Признаки равенства треугольников

Пользуйтесь таблицей, чтобы выбрать признак по тем элементам, которые уже известны или доказаны. Учитывайте слово «соответственно»: равные элементы должны относиться к совпадающим вершинам и сторонам. Если известны три пары равных сторон, подходит третий признак.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и DEF известно: AB = DE, BC = EF, AC = DF. Докажите, что треугольники равны. Все три равенства связывают стороны в порядке записи треугольников, поэтому соответствие вершин уже указано в условии.

1. Сопоставим стороны: AB и DE, BC и EF, AC и DF.
2. Убедимся, что это три пары сторон треугольников ABC и DEF.
3. По третьему признаку равенства треугольников ΔABC = ΔDEF.

Ответ: ΔABC = ΔDEF.

Задача 2. В треугольниках MNP и KLM стороны MN = KL, NP = LM, MP = KM. Найдите соответствие вершин и докажите равенство треугольников. Сначала посмотрим, какие равные стороны сходятся в одной вершине: MN и MP встречаются в M, а KL и KM — в K. Значит, M соответствует K.

1. Из MN = KL и MP = KM получаем соответствие сторон около вершин M и K, поэтому M ↔ K.
2. Сторона MN соответствует KL, значит, N ↔ L; сторона MP соответствует KM, значит, P ↔ M.
3. Оставшаяся пара NP = LM подтверждает это соответствие. По третьему признаку ΔMNP = ΔKLM.

Ответ: M ↔ K, N ↔ L, P ↔ M; ΔMNP = ΔKLM.

Задача 3. Точка O лежит внутри угла AOB. На лучах OA и OB отмечены точки C и D, а на других лучах — точки E и F. Известно, что OC = OE, OD = OF и CD = EF. Докажите равенство углов OCD и OEF. Здесь важно сначала определить соответствие вершин по трём сторонам, а уже затем выбрать нужные углы.

1. В треугольниках OCD и OEF стороны OC и OE равны, OD и OF равны, CD и EF равны.
2. Вершина O соответствует O, поскольку в ней сходятся OC и OD, а также OE и OF. Поэтому C соответствует E, а D — F.
3. По третьему признаку ΔOCD = ΔOEF. Углы OCD и OEF стоят при соответствующих вершинах C и E, значит, они равны.

Ответ: ∠OCD = ∠OEF.

Типичные ошибки

Ошибка — сравнить стороны без указания, какие именно стороны соответствуют друг другу. Её допускают, когда замечают одинаковые длины, но не смотрят на положение сторон в треугольниках. Проверьте, сходятся ли выбранные пары сторон в соответствующих вершинах.

Запись треугольников в произвольном порядке может привести к неверному сопоставлению углов и сторон. Кажется, что буквы можно переставить без последствий, ведь треугольник остаётся тем же, но запись равенства задаёт соответствие. Для самопроверки выпишите пары вершин и сторон, которые следуют из порядка букв.

Нельзя считать доказанным, что равны любые три выбранные пары сторон, если их соответствие не обосновано. Длины могут совпадать, но для применения признака нужно сопоставить стороны так, чтобы они образовывали соответствующие вершины. Проверьте, какие две стороны сходятся в каждой вершине и с какой вершиной другого треугольника они связаны.

После применения признака иногда приравнивают несоответствующие углы или стороны. Причина — в спешке: нужный элемент выбирают по внешнему виду чертежа, а не по записи треугольников. Сверьте места букв в равенстве: первая вершина соответствует первой, вторая — второй, третья — третьей.

Связь с другими темами

Для работы с третьим признаком нужно знать определение равных треугольников, обозначение равенства отрезков и уметь читать чертёж. Неравенство треугольника помогает понять, можно ли построить треугольник по заданным сторонам. Первые два признака равенства полезны, когда вместо трёх сторон известны другие элементы.

Третий признак применяют в доказательствах геометрических теорем и задачах, где нужно установить равенство отрезков или углов. Часто сначала доказывают равенство треугольников, а затем используют равенство их соответствующих элементов. Поэтому правильный порядок вершин важен и в дальнейших рассуждениях.

Что запомнить

• Третий признак сравнивает три пары соответствующих сторон.
• При равенстве трёх соответствующих сторон треугольники равны.
• Порядок вершин в записи равенства задаёт соответствие элементов.
• Равные треугольники имеют равные соответствующие углы и стороны.
• В доказательстве нужно явно назвать равные стороны и применённый признак.