"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием; углы при основании тоже равны. Поэтому по одному углу или стороне часто можно найти остальные элементы фигуры. В параграфе разбираются основные свойства и признаки равнобедренного треугольника, а также задачи на вычисление углов, сторон, высоты и периметра.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Если в треугольнике ABC равны стороны AB и AC, записывают AB = AC. Такое обозначение сразу показывает, какие стороны нужно сравнивать при решении задачи.
Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием. В записи AB = AC боковые стороны — AB и AC, а основание — BC. Угол A называют углом при вершине, потому что он лежит между боковыми сторонами, а углы B и C — углами при основании.
Высота — отрезок, проведённый из вершины перпендикулярно противоположной стороне или её продолжению. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, а биссектриса делит угол пополам. В равнобедренном треугольнике из вершины к основанию эти три отрезка совпадают, поэтому одну линию можно использовать сразу для трёх целей.
Равенство боковых сторон приводит к равенству углов при основании. Проведём из вершины A высоту к основанию BC и обозначим её основание буквой D. Получатся два прямоугольных треугольника ABD и ACD: у них равны гипотенузы AB и AC, а общий катет AD, поэтому треугольники равны по гипотенузе и катету. Значит, соответствующие углы B и C равны.
Та же высота делит основание пополам, потому что равные прямоугольные треугольники имеют равные соответствующие катеты: BD = DC. Она также делит угол A на две равные части, так как соответствующие углы при вершине равных треугольников равны. Поэтому высота из вершины к основанию одновременно является медианой и биссектрисой.
Зная один угол равнобедренного треугольника, можно найти остальные с помощью суммы углов треугольника. Если угол при вершине равен α, два угла при основании равны, и каждый из них вычисляется так: (180° − α) / 2. Если известен угол при основании β, второй угол при основании тоже равен β, а угол при вершине равен 180° − 2β.
Свойство работает и в обратную сторону. Если в треугольнике два угла равны, то противоположные им стороны равны, поэтому треугольник является равнобедренным. Например, из равенства ∠B = ∠C следует AB = AC, ведь стороне AB противолежит угол C, а стороне AC — угол B. Это позволяет распознавать равнобедренный треугольник даже тогда, когда равенство сторон прямо не дано.
Таблица помогает быстро выбрать нужное свойство по условию задачи. Сначала найдите в условии равные стороны или углы, затем определите, где находится основание и какая вершина считается главной.
| Элемент или условие | Что следует |
|---|---|
| AB = AC | Треугольник ABC равнобедренный, основание BC |
| ∠B и ∠C — углы при основании | ∠B = ∠C |
| Высота из A к BC | Она также медиана и биссектриса |
| ∠A = α | ∠B = ∠C = (180° − α) / 2 |
| ∠B = ∠C = β | ∠A = 180° − 2β |
| AB = AC = a, BC = b | P = 2a + b |
В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB и AC равны, а угол A равен 40°. Нужно найти углы B и C. Здесь известен угол при вершине, поэтому сначала используем равенство углов при основании, а затем сумму углов треугольника.
Ответ: ∠B = 70°, ∠C = 70°. Проверка показывает, что 40° + 70° + 70° = 180°, значит вычисление согласуется с главным свойством треугольника.
В равнобедренном треугольнике основание BC равно 8 см, а периметр равен 22 см. Требуется найти длину каждой боковой стороны. Обозначим боковую сторону через a и составим формулу периметра, учитывая, что боковые стороны равны.
Ответ: каждая боковая сторона равна 7 см. В задачах такого типа сначала нужно установить, какая сторона повторяется, и только потом записывать формулу периметра.
Ошибка 1. Ученик считает основанием одну из равных сторон. Так происходит, если смотреть только на положение стороны, а не на условие AB = AC. Проверьте себя: основание всегда является третьей, неравной стороне, а боковые стороны соединяются с вершиной при основании.
Ошибка 2. При известных углах при основании используют формулу (180° − β) / 2 для угла при вершине. Это неверно: два равных угла уже составляют 2β, поэтому вершина находится по формуле ∠A = 180° − 2β. Для проверки сложите найденный угол с двумя углами β: результат должен быть 180°.
Ошибка 3. Высоту, медиану и биссектрису считают разными отрезками, которые нельзя заменить друг другом. В равнобедренном треугольнике это верно только для линии из вершины к основанию. Убедитесь, что отрезок проведён именно из вершины между боковыми сторонами и направлен к основанию.
Свойства равнобедренного треугольника основаны на равенстве треугольников. Проведение высоты делит исходную фигуру на два прямоугольных треугольника, поэтому здесь пригодятся признаки равенства и свойства перпендикулярных прямых.
При нахождении углов используется сумма углов треугольника, а при нахождении периметра — сложение длин отрезков. В дальнейшем равнобедренные треугольники помогут изучать равносторонние треугольники, симметрию и задачи на построение.
Как понять, что треугольник равнобедренный?
Нужно установить, что две его стороны равны, например AB = AC. Равнобедренным также можно считать треугольник, у которого два угла равны: тогда равны и противоположные им стороны.
Равны ли углы при основании равнобедренного треугольника?
Да, углы при основании равны. Если основание — BC, то ∠B = ∠C.
Что происходит с высотой, проведённой к основанию?
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам и вершину пополам.
§ 10. Равнобедренные треугольники
