§ 9. Второй признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Второй признак равенства треугольников гласит: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то треугольники равны. Например, для стороны AB нужны равенство этой стороны с соответствующей стороной и равенство углов при A и B. Это правило нужно, чтобы доказать совпадение треугольников, не сравнивая каждый их элемент по отдельности.

Прилежащие к стороне углы — два угла треугольника, вершины которых являются концами этой стороны. Так, к стороне AB прилежат углы A и B, а угол C к ней не прилежит. Это уточнение помогает выбрать нужные углы и не применить признак к неподходящему набору данных.

Соответствующие элементы треугольников — стороны и углы, которые занимают одинаковое положение в сравниваемых треугольниках. Например, если вершине A соответствует вершина D, то угол A сравнивают с углом D, а стороны с концом A — с соответствующими сторонами с концом D. Правильное соответствие нужно, чтобы равенства записывались в верном порядке и выводы о сторонах не перепутались.

Как это устроено

Для применения признака проверь три равенства: одной стороны и двух углов при её концах. Сначала удобно выбрать сторону, которая дана равной в обоих треугольниках. Затем убедись, что оба известных угла действительно стоят при концах именно этой стороны; иначе условие второго признака не выполнено. Равенство стороны и лишь одного угла недостаточно, потому что оно не задаёт оба направления от её концов.

Представь, что равные стороны двух треугольников наложили друг на друга. Один конец стороны совпал с соответствующим концом другой, и второй конец тоже совпал. Если углы при этих концах равны, то совпадают и направления лучей, образующих углы. Значит, обе остальные стороны одного треугольника идут по тем же направлениям, что и стороны другого.

Почему отсюда следует совпадение треугольников? Вершины треугольника получаются там, где пересекаются его стороны. После совмещения выбранной стороны совпадают её концы, а заданные углы направляют от этих концов остальные стороны одинаковым образом. Поэтому третьи стороны встречаются в одной и той же точке, и треугольники целиком накладываются друг на друга.

Для признака не нужно отдельно задавать равенство третьих углов. Сумма углов любого треугольника равна 180°, поэтому третий угол в каждом из них определяется как 180° минус два известных угла. Если эти два угла попарно равны, то равны и получившиеся третьи углы. Это следствие можно использовать после применения признака или при установлении соответствия углов.

Перед сравнением отметь, какая вершина одного треугольника соответствует какой вершине другого. Начни с равных сторон и сопоставь их концы так, чтобы равные углы оказались при соответствующих концах. Буквы в названиях сами по себе не задают соответствие: его определяют по данным равенствам. Такая проверка не даст сравнить, например, угол при одном конце стороны с углом при другом.

Условия применения второго признака равенства треугольников

В таблице сначала найди пару равных сторон, затем проверь углы при их соответствующих концах. Если все три пары элементов равны, можно применить второй признак. Буквы в примере показывают один возможный порядок соответствия, а в задаче его нужно установить по условию.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ известно, что AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Докажем, что треугольники равны. Проверим, что данные углы прилежат именно к данным равным сторонам, а не к другим сторонам треугольников.

1. Сторона AB равна стороне A₁B₁.
2. Углы A и B находятся при концах AB, а углы A₁ и B₁ — при концах A₁B₁; они попарно равны.
3. По второму признаку равенства треугольников △ABC = △A₁B₁C₁.

Ответ: треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по второму признаку.

Задача 2

Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что AO = CO, ∠BAO = ∠DCO и ∠ABO = ∠CDO. Докажем равенство треугольников AOB и COD. Сначала сопоставим вершины по равным углам: A соответствует C, B соответствует D, а оставшаяся вершина O — O.

1. По условию AO = CO, ∠BAO = ∠DCO и ∠ABO = ∠CDO.
2. В треугольниках AOB и COD равны углы при A и C, а также при B и D. Поэтому углы AOB и COD тоже равны: каждый дополняет сумму двух известных углов до 180°.
3. Сторона AO лежит между углами при A и O, а CO — между углами при C и O. По второму признаку △AOB = △COD.

Ответ: △AOB = △COD. Равенство третьей пары углов понадобилось, чтобы увидеть, что равная сторона находится между двумя равными углами.

Задача 3

В треугольниках ABC и DEF известно, что AB = DE, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E. Нужно доказать, что AC = DF и BC = EF. Сначала важно доказать равенство треугольников целиком: тогда равенство нужных сторон станет следствием, а не отдельным предположением.

1. Стороны AB и DE равны, а равные углы A и B прилежат к AB; равные углы D и E прилежат к DE.
2. По второму признаку △ABC = △DEF, причём соответствуют вершины A и D, B и E, C и F.
3. У равных треугольников соответствующие стороны равны. Поэтому AC = DF и BC = EF.

Ответ: AC = DF и BC = EF.

Типичные ошибки

Берут сторону, не лежащую между двумя известными углами. Такая сторона может быть равна соответствующей стороне, но это ещё не означает выполнения второго признака. Ошибку допускают, если замечают три равенства, но не проверяют, где расположены углы. Для самопроверки назови концы выбранной стороны и убедись, что оба данных угла находятся именно при этих вершинах.

Сопоставляют вершины только по буквам или рисунку. Вершины на чертеже могут быть расположены как угодно, а порядок букв в названиях сам по себе не доказывает соответствие. Из-за этого можно сравнить не те углы или получить неверную пару сторон. Проверь, какие концы равных сторон соответствуют друг другу и при каких концах стоят равные углы.

Считают достаточными равенство стороны и одного прилежащего угла. Так бывает, когда забывают, что у выбранной стороны два конца и признак учитывает угол при каждом из них. Одно равенство углов не задаёт второе нужное направление. Перед выводом о равенстве треугольников пересчитай условия: должны быть сторона и две пары прилежащих углов.

Путают равенство углов с равенством сторон или сразу объявляют треугольники равными. Запись ∠A = ∠D говорит об углах, а не о сторонах, и сама по себе не завершает доказательство. Иногда вывод делают, не проверив все условия признака. Подчеркни отдельно равенство одной стороны и двух углов, а затем назови признак, по которому получен вывод.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать, что сумма углов треугольника равна 180°, и уметь обозначать равные стороны и углы. Первый признак равенства треугольников позволяет сравнить, какие данные используются в разных признаках: условия у них различаются. Выбирай признак по тем элементам, которые уже известны из условия задачи. Второй признак пригодится, чтобы доказывать равенство треугольников, а затем — равенство их соответствующих сторон и углов.

Что запомнить

• Для второго признака нужны одна сторона и два прилежащих к ней угла.
• Данные углы должны лежать при концах выбранной стороны.
• Равные элементы необходимо сопоставить в правильном порядке.
• Если выполнены условия признака, треугольники равны.
• Соответствующие стороны и углы равных треугольников равны.
• Равенство третьего угла следует из суммы углов треугольника.