2.4 Второй признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Равные треугольники — треугольники, при наложении которых соответствующие вершины, стороны и углы совпадают. Иначе говоря, один треугольник можно переместить так, чтобы он полностью совместился с другим. Это понятие позволяет доказывать совпадение не только отдельных элементов, но и всех частей фигур.

Соответствующие элементы — стороны и углы двух треугольников, занимающие одинаковое положение при заданном соответствии вершин. Например, если вершины A и A′ соответствуют друг другу, то углы при них тоже соответствующие. Это нужно, чтобы сравнивать именно те элементы, которые должны совпасть при наложении.

Прилежащие к стороне углы — два угла треугольника, для которых эта сторона является общей стороной. Один из них расположен при одном конце выбранной стороны, а другой — при другом. Такое название помогает точно указать, какие именно углы нужны для признака.

Второй признак равенства треугольников — условие, по которому равенство одной стороны и двух прилежащих к ней углов позволяет заключить, что треугольники равны. Для применения признака требуется проверить все три равенства и их соответствие. Это правило сокращает доказательство: не нужно отдельно находить третью сторону и третий угол.

Как это устроено

Формулировка второго признака такова: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то треугольники равны. Равные углы должны быть при концах выбранной стороны, а не просто где-то в треугольниках. Именно эти три элемента задают расположение треугольника однозначно.

Сначала нужно установить соответствие сторон, а затем проверить углы у их концов. Если сторона AB соответствует стороне A′B′, то углу при A должен соответствовать угол при A′, а углу при B — угол при B′. Такое сопоставление важно, потому что равенства элементов без правильного соответствия не подтверждают условие признака.

Представь, что равные стороны наложили друг на друга так, чтобы совпали их концы. У каждого конца угол задаёт луч, на котором должна лежать третья вершина; равенство углов означает, что соответствующие лучи также совпадают. Пересечение этих лучей и есть третья вершина, поэтому треугольники полностью совмещаются.

Чтобы правильно записать равные треугольники, сопоставляй вершины по известным сторонам и углам. Например, из AB = A′B′, ∠A = ∠A′ и ∠B = ∠B′ следует соответствие A ↔ A′, B ↔ B′, а значит, C ↔ C′. Поэтому запись будет такой: △ABC = △A′B′C′; одинаковые позиции букв показывают пары соответствующих вершин.

Не всякий набор «два угла и сторона» сразу является формулировкой второго признака. Если сторона не прилежит к обоим названным углам, расположение данных другое, и ссылаться на этот признак нельзя. Иногда равенство можно доказать иначе, например сначала установить нужное равенство углов, но это требует отдельного обоснования.

Данные и вывод второго признака равенства треугольников

Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала запиши пару равных сторон, затем углы у обоих концов этих сторон. Убедись, что сравниваешь соответствующие элементы, а не углы при разных концах. Если все три проверки выполнены, можно записать вывод о равенстве треугольников по второму признаку.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и A′B′C′ известно, что AB = A′B′, ∠A = ∠A′ и ∠B = ∠B′. Докажите, что треугольники равны. Начнём с того, что сторона AB соответствует A′B′. Углы при концах этих сторон тоже равны попарно, значит, выполнено условие второго признака.

1. Стороны AB и A′B′ равны по условию.
2. Углы ∠A и ∠A′ прилежат к этим сторонам и равны; так же равны ∠B и ∠B′.
3. Следовательно, △ABC = △A′B′C′ по второму признаку равенства треугольников.

Ответ: треугольники ABC и A′B′C′ равны. Порядок вершин в записи выбран потому, что A соответствует A′, а B — B′. Третьи вершины тогда соответствуют друг другу автоматически.

Задача 2

Прямые AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что AO = CO и ∠ABO = ∠CDO, ∠BAO = ∠DCO. Докажите равенство треугольников ABO и CDO. Данные углы при A и C уже равны и прилежат к сторонам AO и CO. Для второго угла при этих сторонах используем вертикальные углы.

1. Так как AC и BD пересекаются, углы ∠AOB и ∠COD — вертикальные, поэтому они равны.
2. Стороны AO и CO равны по условию. Углы ∠BAO и ∠DCO равны по условию, а ∠AOB и ∠COD равны как вертикальные.
3. Эти углы прилежат к сторонам AO и CO, следовательно, △ABO = △CDO по второму признаку.

Ответ: △ABO = △CDO. Равенство ∠ABO = ∠CDO дано, но для выбранной стороны AO оно не требуется. Оно может быть полезно в других рассуждениях, однако для этого доказательства достаточно стороны и углов при её концах.

Задача 3

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, причём AO = BO, а ∠CAO = ∠DBO. Какое дополнительное равенство углов достаточно установить, чтобы доказать равенство треугольников ACO и BDO по второму признаку? Стороны AO и BO соответствуют, а заданные углы расположены у A и B. Не хватает равенства углов у второго конца выбранных сторон — точки O.

1. Нужно установить равенство ∠AOC и ∠BOD.
2. Эти углы вертикальные: лучи OA и OB лежат на прямой AB, а лучи OC и OD — на прямой CD. Поэтому ∠AOC = ∠BOD.
3. Теперь AO = BO, ∠CAO = ∠DBO и ∠AOC = ∠BOD; это равные стороны и два прилежащих к ним угла.

Ответ: достаточно установить ∠AOC = ∠BOD, поскольку это вертикальные углы. Тогда △ACO = △BDO по второму признаку. В записи вершин A соответствует B, O — O, а C — D.

Типичные ошибки

• Указывают любые два равных угла, не проверяя их расположение относительно выбранной стороны. Так поступают, потому что замечают равенства, но забывают условие признака; проверь, что оба угла находятся при концах этой стороны.
• Сравнивают равные стороны, но сопоставляют углы у разных концов. Причина — неустановленное соответствие вершин; подпиши пары концов равных сторон и только после этого сравнивай углы.
• Записывают треугольники в произвольном порядке. Это скрывает, какие вершины соответствуют друг другу; проверка проста: буквы в одинаковых позициях должны обозначать соответствующие вершины.
• Считают, что равенства одной стороны и только одного прилежащего угла достаточно. Одного угла недостаточно для второго признака, хотя данных может хватить для другого доказательства; проверь, указаны ли оба угла при концах равной стороны.

Связь с другими темами

Перед изучением признака нужно знать, что такое равные треугольники, соответствующие элементы и прилежащие к стороне углы. В задачах часто помогают свойства вертикальных и смежных углов, а также теорема о сумме углов треугольника: с их помощью можно получить недостающее равенство. Позже признак используют в доказательствах равенства отрезков и углов. Сравнивай его с первым и третьим признаками: наборы исходных элементов у них различаются.

Что запомнить

• Во втором признаке сравнивают одну сторону и два прилежащих к ней угла.
• Оба угла должны быть при концах выбранной стороны.
• Все три равенства устанавливают для соответствующих элементов.
• При выполнении условия треугольники равны.
• Порядок букв в записи равных треугольников показывает соответствие вершин.