19. Второй признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то треугольники равны. Признак позволяет доказать совпадение треугольников, не сравнивая заранее все их элементы. Для применения нужно точно определить, какие сторона и углы сопоставляются.

Прилежащий к стороне угол — угол, одной из сторон которого является данная сторона треугольника. У каждой стороны есть два прилежащих угла: они расположены при её концах. Это определение помогает проверить условие признака: оба сравниваемых угла должны находиться у концов одной и той же стороны.

Соответственные элементы — вершины, стороны и углы, сопоставленные друг другу при сравнении треугольников. Например, если A соответствует A₁, B — B₁, а C — C₁, то стороне AB соответствует A₁B₁, а углу A — угол A₁. Такое соответствие нужно устанавливать до записи равенств, чтобы не сравнить элементы, занимающие разные места.

Равные треугольники — треугольники, которые можно совместить наложением; их соответствующие стороны и углы равны. Запись △ABC = △A₁B₁C₁ означает, что вершины идут в соответствующем порядке: A и A₁, B и B₁, C и C₁. Благодаря этому из равенства треугольников можно получать равенство других их элементов.

Как это устроено

Чтобы понять, почему достаточно одной стороны и двух прилежащих углов, представь эту сторону как основание. Угол при одном конце задаёт направление луча, на котором лежит одна из сторон треугольника, а угол при другом конце задаёт направление второй стороны. Третья вершина должна находиться на пересечении этих лучей. Значит, если исходная сторона и оба угла одинаковы, треугольники не могут иметь разные размеры или форму.

Построение по этим данным выполняют последовательно. Сначала откладывают отрезок заданной длины, затем при его концах строят углы заданной величины так, чтобы они лежали по одну сторону от отрезка. Лучи, выходящие из концов отрезка, пересекаются в третьей вершине треугольника. Полученная фигура имеет нужную сторону и два прилежащих угла.

Построенный треугольник единственный, потому что его основание уже закреплено, а направления лучей заданы величинами углов. Переместить третью вершину, сохранив оба направления и основание, нельзя: она обязана остаться в точке пересечения лучей. Если исходные данные у двух треугольников равны, их основания и лучи можно совместить, а значит, совпадут и третьи вершины. Это и объясняет второй признак.

При решении задачи сначала обозначь соответствие вершин. Затем найди равные стороны и проверь, что равные углы расположены при концах именно этих сторон. Если обе проверки выполнены, запиши равенство треугольников по второму признаку. Порядок вершин в записи должен отражать установленное соответствие, иначе последующие выводы могут оказаться неверными.

После установления равенства треугольников можно сравнивать все их соответствующие элементы, а не только те, что были даны в условии. Например, если доказано, что △ABC = △A₁B₁C₁, то AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁, а углы при соответствующих вершинах тоже равны. Это позволяет доказывать равенство отрезков и углов, которые непосредственно в условии не сравнивались.

Признаки равенства треугольников

Сначала определи, какие элементы даны в задаче, а затем сравни их с условиями признаков. Для второго признака особенно проверь положение углов: они должны быть при концах одной стороны. Если расположение элементов не совпадает с нужным признаком, нельзя применять его только потому, что числа или обозначения равны.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Докажите, что треугольники равны. Здесь нужно установить, подходит ли сторона AB вместе с данными углами для второго признака, а не сравнивать элементы наугад.

1. Стороне AB соответствует A₁B₁, поскольку эти стороны равны по условию.
2. Углы A и B прилежат к AB: один находится при вершине A, другой — при B. Углы A₁ и B₁ таким же образом прилежат к A₁B₁.
3. По второму признаку равенства треугольников △ABC = △A₁B₁C₁. Порядок букв указывает соответствие A — A₁, B — B₁, C — C₁.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁ по второму признаку равенства треугольников.

Задача 2

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Известно, что AO = BO, ∠CAO = ∠DBO и ∠AOC = ∠BOD. Докажите, что AC = BD. Чтобы получить нужное равенство, сначала сравним треугольники, в которых AC и BD являются соответствующими сторонами.

1. Рассмотрим △AOC и △BOD. По условию AO = BO, ∠CAO = ∠DBO и ∠AOC = ∠BOD.
2. Сторона AO заключена между углами при вершинах A и O; сторона BO заключена между равными углами при B и O. Значит, выполнено условие второго признака, и △AOC = △BOD.
3. При установленном соответствии A — B, O — O, C — D сторонам AC и BD соответствуют друг другу. Поэтому из равенства треугольников следует AC = BD.

Ответ: AC = BD.

Задача 3

В треугольнике ABC точки M и N лежат соответственно на AB и AC. Известно, что AM = AN, ∠MAN = ∠BAC и ∠AMN = ∠ACB. Докажите равенство треугольников AMN и ACB. Здесь важно не предполагать соответствие вершин только по порядку названий, а проверить его по углам.

1. Из ∠MAN = ∠BAC следует, что вершине A малого треугольника соответствует вершина A большого. Из ∠AMN = ∠ACB следует, что M соответствует C.
2. Тогда оставшиеся вершины соответствуют друг другу: N — B. Действительно, сумма углов треугольника равна 180°, поэтому третьи углы в обоих треугольниках тоже равны.
3. Стороне AM соответствует AC, а AN — AB; по условию равны AM и AN. При установленном соответствии можно применить второй признак, используя сторону AM = AN и углы при её концах: ∠MAN = ∠BAC, а угол при M равен углу при C.
4. Следовательно, △AMN = △ACB при соответствии A — A, M — C, N — B.

Ответ: △AMN = △ACB.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что любые два равных угла и одна равная сторона подходят для второго признака. Так происходит, если смотреть только на обозначения равенств и не проверять расположение элементов. Убедись, что оба угла прилежат к сравниваемой стороне, то есть находятся при её концах.

Вторая ошибка — неверно сопоставить вершины и сравнить элементы, которые не соответствуют друг другу. Обычно это случается, когда равенства записывают до того, как разобрались в чертеже. Сначала найди равные стороны и углы, затем подпиши пары вершин и проверь, что порядок букв в записи треугольников сохраняет эти пары.

Третья ошибка — принять равенство одной стороны и одного прилежащего угла за достаточное условие. Одного угла не хватает, чтобы задать направление второй стороны, поэтому третья вершина может оказаться в разных местах. Проверь наличие второго равного угла при другом конце той же стороны.

Четвёртая ошибка — после доказательства равенства треугольников записать равенство несоответствующих сторон или углов. Причина часто в том, что порядок вершин не учли или забыли, как они сопоставлены. Для проверки выпиши соответствие вершин и проследи, какие именно концы каждой стороны совпадают.

Связь с другими темами

Перед изучением признака нужно знать, что сумма углов треугольника равна 180°, и уметь обозначать равные стороны и углы. При поиске равных углов на чертеже пригодятся свойства вертикальных и смежных углов, а также накрест лежащих углов при параллельных прямых. После доказательства равенства треугольников можно обосновывать равенство отрезков и углов, а сам признак полезен в задачах на построение и доказательство.

Что запомнить

• Второй признак использует одну сторону и два прилежащих к ней угла.
• Углы должны быть при концах сравниваемой стороны.
• Сначала установи соответствие вершин, затем применяй признак.
• Равные треугольники имеют равные соответствующие стороны и углы.
• Порядок букв в записи равных треугольников показывает соответствие вершин.