§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников

Определения и обозначения

Второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то треугольники равны. Прилежащими к стороне называют углы при её концах. Это определение помогает понять, какие именно три элемента нужно сравнить перед применением признака.

Прилежащие к стороне углы — два угла треугольника, для которых эта сторона является одной из сторон. Например, к стороне AB прилегают углы A и B. Угол C лежит напротив AB, поэтому он не прилежит к этой стороне; различать эти углы необходимо, чтобы проверить условие второго признака.

Третий признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны. Сравнивать нужно все три стороны, причём каждую — с соответствующей стороной второго треугольника. Этот признак позволяет доказать равенство, даже если углы заранее не известны.

Соответственные элементы треугольников — стороны и углы, занимающие одинаковое положение при сопоставлении треугольников. Например, если вершине A соответствует вершина D, то углы A и D соответствуют друг другу. Понятие нужно, чтобы правильно записывать равенство треугольников и затем называть равные элементы.

Как это устроено

Во втором признаке углы должны находиться именно при концах заданной стороны. Каждый угол задаёт направление одного из лучей, выходящих из конца этой стороны, а равная сторона задаёт расстояние между началами лучей. Поэтому лучи оказываются расположены одинаково, и образованный ими треугольник определяется однозначно. Если взять угол напротив стороны вместо одного из углов при её концах, такого построения из условий признака уже не получится.

Чтобы определить прилежащие углы, сначала найди концы выбранной стороны. Затем у каждой из этих вершин выбери угол треугольника, в который входит эта сторона. Например, к BC прилегают углы B и C, потому что BC является стороной каждого из них. Угол A образован сторонами AB и AC и лежит напротив BC, поэтому его нельзя подставлять вместо угла B или C.

Третий признак работает потому, что три длины сторон фиксируют форму треугольника. Если построить две заданные стороны из одной вершины, третья сторона определяет, где окажутся их свободные концы относительно друг друга. Значит, углы и остальные элементы получившихся треугольников также совпадут при подходящем совмещении. Равенство только двух сторон этого не гарантирует: угол между ними может быть разным.

Перед записью равенства треугольников установи, какая вершина одного соответствует какой вершине другого. Для этого сопоставь заданные равные стороны и углы, а затем проверь, чтобы общие у этих элементов вершины совпадали по соответствию. Если A соответствует A₁, B — B₁, а C — C₁, запись будет такой: △ABC = △A₁B₁C₁. Тогда AB соответствует A₁B₁, а угол C — углу C₁.

В доказательстве сначала выделяют два треугольника, о равенстве которых нужно сказать. Затем выписывают известные равные элементы и проверяют, полностью ли они подходят под один признак. Лишь после этой проверки делают вывод о равенстве треугольников. Если признак выполнен, можно использовать равенство соответствующих элементов, например чтобы доказать равенство отрезков или найти неизвестный угол.

Признаки равенства треугольников

Сначала выбери строку, условия которой совпадают с данными задачи, а затем проверь не только число равных элементов, но и их расположение. Угол между сторонами нужен для первого признака, а углы при концах стороны — для второго. Если условия подходят, можно записать вывод о равенстве треугольников.

Разбор задач

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны AB и A₁B₁, ∠A и ∠A₁, ∠B и ∠B₁. Докажем, что треугольники равны. Здесь важно проверить, что два равных угла расположены именно у концов равных сторон, а не только заметить, что в условии есть сторона и углы.

1. Сторона AB соответствует стороне A₁B₁.
2. Углы A и B прилежат к AB, а углы A₁ и B₁ прилежат к A₁B₁.
3. По условию эти стороны и оба прилежащих угла соответственно равны. По второму признаку △ABC = △A₁B₁C₁.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁. Порядок вершин в записи показывает соответствие A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁. Поэтому после доказательства можно утверждать, например, что AC = A₁C₁ и ∠C = ∠C₁.

В треугольниках ABC и DEF известно, что AB = DE, AC = DF, ∠A = ∠D. Нужно доказать равенство треугольников и указать равные элементы. Несмотря на то что второго признака здесь нет, задача решается: две заданные стороны сходятся в вершине A, а угол A заключён между ними. Это как раз условия первого признака.

1. Сопоставляем вершины A и D: равные стороны AB и AC выходят из A, а DE и DF — из D.
2. Угол A образован сторонами AB и AC, а угол D — сторонами DE и DF.
3. По первому признаку △ABC = △DEF. В этой записи соответствуют A и D, B и E, C и F.

Ответ: треугольники равны; BC = EF, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F. Важно не ошибиться в названии признака: задан угол между двумя сторонами, поэтому здесь применяют первый признак, а не второй.

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ стороны AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁. Докажем, что медианы из вершин B и B₁ равны. Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Сначала нужно доказать равенство самих треугольников, чтобы затем сопоставить их медианы.

1. Даны равенства всех трёх пар соответствующих сторон: AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁.
2. По третьему признаку △ABC = △A₁B₁C₁, причём B соответствует B₁, а сторона AC — A₁C₁.
3. Середине AC соответствует середина A₁C₁. Поэтому медианы из соответствующих вершин B и B₁ также соответствуют друг другу и равны.

Ответ: медианы из B и B₁ равны. Равенство здесь следует из равенства треугольников: соответствующие отрезки, в том числе медианы, имеют одинаковую длину.

Типичные ошибки

Ошибка: применять второй признак, когда дана сторона и два угла, но один из них не прилежит к ней. Так делают, потому что видят нужное количество равных элементов, но не проверяют их расположение. Проверь, что один угол находится у каждого конца выбранной стороны.

Ошибка: считать прилежащим угол, лежащий напротив стороны. Это случается, если ориентироваться только на то, что угол принадлежит тому же треугольнику. Проверь, является ли выбранная сторона одной из сторон угла: если нет, угол не прилежит.

Ошибка: применять третий признак при равенстве только двух сторон. Две стороны могут образовывать разные углы, поэтому треугольники не обязательно окажутся одинаковыми. Перед выводом перечисли все три пары соответствующих сторон и убедись, что каждая пара равна.

Ошибка: записывать вершины треугольников в разном порядке. Тогда можно неверно назвать соответствующие стороны и углы, даже если сами треугольники доказаны равными. Сначала установи соответствие вершин, а затем поставь их в одинаковой последовательности в обеих частях записи.

Связь с другими темами

Для работы с признаками нужно знать, какие стороны и углы образуют треугольник, уметь распознавать углы при вершинах и понимать первый признак равенства. Эти знания помогают выбирать подходящее условие и не путать расположение элементов. Второй и третий признаки продолжают изучение способов доказать равенство фигур.

Признаки используют, когда доказывают свойства треугольников и других геометрических фигур. После установления равенства треугольников можно находить неизвестные стороны и углы, а также доказывать равенство отрезков, например медиан. Поэтому умение правильно выделять треугольники и сопоставлять их элементы пригодится во многих задачах.

Что запомнить

• Второй признак: сторона и два прилежащих к ней угла.
• Углы при концах выбранной стороны прилежат к ней.
• Третий признак: три стороны одного треугольника равны трём соответствующим сторонам другого.
• Соответствие вершин нужно установить до записи равенства треугольников.
• Равные треугольники имеют равные соответствующие стороны и углы.
• Перед применением признака проверь, что выполнены все его условия.