"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны — боковые, а третья называется основанием. Знание его свойств помогает находить неизвестные углы и длины, а также доказывать равенство треугольников. Углы при основании равны. Ещё одно важное свойство связано с биссектрисой угла между боковыми сторонами: она делит основание пополам и перпендикулярна ему. Поэтому в таком треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны; их называют боковыми. Например, если AB = AC, то AB и AC — боковые стороны треугольника ABC. Это условие помогает сразу понять, какие свойства можно применить при решении задачи.
Основание равнобедренного треугольника — третья сторона, которая не является боковой. В треугольнике ABC с равными сторонами AB и AC основание — BC. По основанию удобно определить углы при основании и рассматривать отрезки, проведённые к нему из вершины.
Угол при вершине — угол между боковыми сторонами, а два других угла называют углами при основании. В треугольнике ABC угол при вершине — ∠A, а углы при основании — ∠B и ∠C. Такое название показывает, какие именно углы равны и к какому углу относится биссектриса, о которой говорится дальше.
Обозначим равнобедренный треугольник ABC так, что AB = AC, а BC — основание. Из вершины A проведём биссектрису AD, где D лежит на BC. Биссектриса — луч или отрезок, который делит угол на две равные части, поэтому ∠BAD = ∠DAC. Это построение позволяет сравнить две части треугольника.
Треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними: AB = AC по условию, AD — общая сторона, а углы BAD и DAC равны. Значит, соответствующие элементы этих треугольников тоже равны. В частности, ∠B = ∠C, поэтому углы при основании равнобедренного треугольника равны. Равенство получается не из одного лишь вида треугольника, а из доказанного равенства его частей.
Из того же равенства треугольников следует, что BD = DC. Поэтому AD делит основание пополам и по определению является медианой. Кроме того, углы ADB и ADC равны как соответствующие углы равных треугольников. Они прилежат к прямой BC и вместе составляют 180°, значит, каждый равен 90°: AD перпендикулярна BC и является высотой.
Таким образом, биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника одновременно является медианой и высотой, проведёнными к основанию. Если к основанию провести медиану или высоту из вершины A, она также совпадёт с этой биссектрисой. Совпадение относится именно к линии из вершины между равными сторонами к основанию, а не к любому отрезку треугольника.
Равенство углов при основании помогает находить третий угол, потому что сумма углов любого треугольника равна 180°. Если известен угол при вершине, сначала вычти его из 180°, а затем раздели остаток на два равных угла при основании. Если известен один угол при основании, второй такой же, а угол при вершине найдёшь вычитанием их суммы из 180°. Такая последовательность помогает не перепутать, какой угол нужно делить пополам.
| Что рассматривается | Свойство | Следствие для треугольника ABC |
|---|---|---|
| Углы при основании | Они равны. | Если AB = AC, то ∠B = ∠C. |
| Биссектриса угла при вершине | Делит основание пополам и перпендикулярна ему. | Если AD — биссектриса ∠A, то BD = DC и AD ⟂ BC. |
| Медиана, проведённая к основанию | Одновременно является биссектрисой и высотой. | Если AD — медиана к BC, то ∠BAD = ∠DAC и AD ⟂ BC. |
| Высота, проведённая к основанию | Одновременно является биссектрисой и медианой. | Если AD ⟂ BC, то BD = DC и ∠BAD = ∠DAC. |
Сначала определи равные боковые стороны и основание, а затем выбери строку, которая подходит к условию. Таблица показывает, какие дополнительные свойства можно использовать, если проведена биссектриса, медиана или высота к основанию.
В треугольнике ABC AB = AC, угол B равен 52°. Найдите угол C. Равные стороны AB и AC показывают, что BC — основание. Значит, углы B и C лежат при основании, и можно применить свойство равнобедренного треугольника.
Ответ: 52°.
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании. Они равны, поэтому после нахождения их общей суммы нужно разделить её на два. Сумма всех трёх углов треугольника составляет 180°.
Ответ: каждый угол при основании равен 70°.
В треугольнике ABC AB = AC, AD — биссектриса угла A, BC = 18 см, угол BAD равен 35°. Найдите BD, DC и угол ADB. Так как AD делит угол A пополам, а треугольник равнобедренный, этот отрезок одновременно является медианой и высотой к основанию. Значит, основание делится пополам, а с ним образуются прямые углы.
Ответ: BD = 9 см, DC = 9 см, ∠ADB = 90°.
Иногда основанием называют любую сторону или одну из равных сторон. Так происходит, если не проверить, какие именно стороны равны по условию. Найди пару равных сторон: оставшаяся сторона и есть основание.
Другая ошибка — считать равными все три угла равнобедренного треугольника. Равны только углы при основании, потому что они лежат напротив равных боковых сторон; угол при вершине может отличаться. Чтобы проверить себя, сначала отметь равные стороны и найди углы, лежащие напротив них.
Свойство совпадения биссектрисы, медианы и высоты иногда переносят на отрезок к любой стороне. Это неверно: доказательство относится к линии, проведённой из вершины между боковыми сторонами к основанию. Перед применением проверь, что треугольник равнобедренный и отрезок проведён именно к основанию.
При вычислении углов можно забыть, что их сумма равна 180°, или поделить пополам угол при вершине, хотя требуется найти углы при основании. Это случается, когда не различают вершину и основание. Запиши, какие углы равны, составь равенство суммы углов 180° и дели пополам только сумму двух равных углов.
Для работы со свойствами нужно знать определение равнобедренного треугольника, признаки равенства треугольников и теорему о сумме углов треугольника. Именно сравнение двух частей треугольника помогает доказать равенство углов при основании и свойства отрезка к основанию. Эти знания пригодятся в задачах на углы и длины, а также при доказательстве признаков равенства треугольников.
Какие стороны равнобедренного треугольника называют боковыми?
Боковыми называют две равные стороны треугольника. Третья сторона, которая не входит в эту пару, называется основанием.
Какие углы равны в равнобедренном треугольнике?
Равны углы при основании — те, которые лежат напротив равных боковых сторон. Угол при вершине обычно не равен им.
Почему биссектриса угла при вершине является высотой?
Она делит равнобедренный треугольник на два равных треугольника. Поэтому два угла, образованные биссектрисой с основанием, равны; вместе они составляют 180°, значит каждый равен 90°. Следовательно, биссектриса перпендикулярна основанию и является высотой.
Как найти углы равнобедренного треугольника, если известен угол при вершине?
Вычти угол при вершине из 180° — получишь сумму двух углов при основании. Затем раздели результат пополам, так как эти углы равны. Например, если угол при вершине 40°, каждый угол при основании равен (180° − 40°) : 2 = 70°.
Всегда ли медиана к основанию равнобедренного треугольника является биссектрисой?
Да, если медиана проведена из вершины, где сходятся равные боковые стороны, к основанию. В равнобедренном треугольнике такая медиана одновременно является биссектрисой и высотой.
18. Свойства равнобедренного треугольника
