§ 41. Свойства равнобедренного треугольника

Определения и обозначения

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Например, если в треугольнике ABC стороны AB и BC имеют одинаковую длину, то ABC равнобедренный. Это определение позволяет сразу искать особые свойства фигуры.

Боковые стороны — две равные стороны равнобедренного треугольника. В примере это AB и BC, потому что они сходятся в одной вершине. По боковым сторонам удобно находить вершину и проверять, является ли треугольник равнобедренным.

Основание — третья сторона, не входящая в пару равных боковых сторон. Если AB = BC, то основание — AC. Название «основание» помогает отличать эту сторону от двух равных сторон и правильно выбирать связанные с ней углы.

Углы при основании — два угла, прилежащих к основанию. Для основания AC это углы A и C, то есть ∠BAC и ∠BCA. Именно эти углы в равнобедренном треугольнике равны между собой.

Как это устроено

Пусть в треугольнике ABC равны стороны AB и BC, поэтому AC — основание, а B — вершина между боковыми сторонами. Углы A и C лежат у концов основания и являются углами при основании. Такое обозначение сразу показывает, какие элементы нужно сравнивать.

Проведём из вершины B биссектрису BD угла ABC, где D лежит на AC. Она делит угол B на два равных угла: ∠ABD = ∠DBC. Треугольники ABD и CBD имеют равные стороны AB и BC, общую сторону BD и равные углы между ними, поэтому они равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следуют равенства соответствующих углов. Поэтому угол A равен углу C, то есть углы при основании равнобедренного треугольника равны. Причина этого свойства не в самом названии треугольника, а в том, что его равные части после проведения биссектрисы совпадают по размерам.

Из тех же равных треугольников получаем AD = DC. Точка D делит основание AC на два равных отрезка, значит, D — середина основания. Следовательно, биссектриса BD является также медианой, потому что медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

Углы ADB и CDB равны как соответствующие углы равных треугольников. Одновременно они смежные, поэтому их сумма равна 180°; равные углы имеют величину 90°. Значит, BD перпендикулярна AC и является высотой, а биссектриса, медиана и высота из вершины B совпадают.

Свойства равнобедренного треугольника

Сначала найдите пару равных сторон и определите основание. Затем выберите строку таблицы, которая соответствует известной линии или углам.

Нельзя переносить это свойство на любую линию треугольника: совпадение относится к линии из вершины между равными сторонами.

Разбор задач

Задача 1

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании. Обозначим каждый из равных углов при основании через x.

1. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому 40° + x + x = 180°.
2. Получаем 2x = 140°, откуда x = 70°.

Ответ: оба угла при основании равны 70°.

Задача 2

Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см, основание — 10 см. Найдите боковую сторону. Пусть боковая сторона равна x см, тогда вторая боковая сторона тоже равна x см.

1. Составим формулу периметра: x + x + 10 = 26.
2. Получаем 2x = 16, поэтому x = 8 см.

Ответ: боковая сторона равна 8 см.

Задача 3

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса BD угла B. Известно, что AD = 6 см и BD = 8 см. Найдите AC и периметр. Биссектриса BD одновременно является медианой и высотой.

1. Так как BD — медиана, DC = AD = 6 см, поэтому AC = 6 + 6 = 12 см.
2. В прямоугольном треугольнике ABD боковая сторона AB — гипотенуза: AB² = AD² + BD² = 6² + 8² = 100, значит, AB = 10 см.
3. BC = AB = 10 см, поэтому P = 10 + 10 + 12 = 32 см.

Ответ: AC = 12 см, периметр равен 32 см.

Типичные ошибки

Ошибка: называть основанием любую выбранную сторону. Так делают, когда забывают о главном признаке фигуры. Проверьте, что две другие стороны равны: именно оставшаяся сторона будет основанием.

Ошибка: считать углы при основании равными в любом треугольнике. Это свойство действует только при наличии равных боковых сторон и для углов напротив них. Сначала запишите равенство сторон, а затем определите, какие углы им соответствуют.

Ошибка: переносить совпадение биссектрисы, медианы и высоты на любую биссектрису. Совпадает только линия из вершины между равными сторонами к основанию. Проверьте, проходит ли она из вершины равных боковых сторон.

Ошибка: забывать сумму углов 180° или делить пополам не тот угол. Угол при вершине сначала вычитают из 180°, а оставшийся результат делят на два. Полезно проверить ответ: три найденных угла должны дать 180°.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны знания об элементах треугольника, видах углов, равенстве треугольников и сумме их углов. Именно эти правила объясняют, почему биссектриса разделяет равнобедренный треугольник на равные части.

Свойства равнобедренного треугольника пригодятся в задачах на углы, стороны и периметр. Они также связаны с дальнейшим изучением медиан, высот и биссектрис произвольного треугольника.

Что запомнить

• В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны.
• Углы при основании равны.
• Биссектриса угла между боковыми сторонами является медианой к основанию.
• Эта биссектриса является высотой к основанию.
• Биссектриса, медиана и высота из вершины между боковыми сторонами совпадают.
• Сумма углов любого треугольника равна 180°.