§ 42. Расстояние от точки до прямой

Определения и обозначения

Перпендикуляр к прямой — отрезок, проведённый из точки к прямой под прямым углом. Если отрезок AB перпендикулярен прямой l, это можно обозначить AB ⟂ l. Угол между ним и прямой равен 90°. Это обозначение помогает сразу увидеть на чертеже, какой отрезок соединяет точку с прямой именно под прямым углом.

Основание перпендикуляра — точка пересечения перпендикуляра с прямой. Например, если AB перпендикулярен прямой l и точка B лежит на l, то B — основание перпендикуляра AB. Основание обозначает место пересечения, а не сам отрезок и не его длину. Оно нужно, чтобы назвать точку прямой, до которой проведён перпендикуляр.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Если из A опустили перпендикуляр AB на прямую l, то расстояние от A до l равно длине AB. Слова «опустить перпендикуляр» означают провести его из точки к прямой под углом 90°. Такое определение позволяет однозначно измерить расстояние, даже если к прямой можно провести много других отрезков.

Как это устроено

Чтобы провести перпендикуляр из точки A, не лежащей на прямой l, через эту точку строят отрезок, который встречает прямую под углом 90°. Удобно воспользоваться угольником: одну его сторону совмещают с прямой, а по другой проводят линию через A. Точку пересечения линии с прямой обозначают, например, H. Тогда AH ⟂ l, а H — основание перпендикуляра; построить его можно только одним способом.

К прямой из точки можно провести не только перпендикуляр, но и наклонные отрезки, которые встречают прямую под другими углами. Их длины различаются, поэтому любой выбранный отрезок не может задавать единственное расстояние. Перпендикуляр выделяется тем, что он самый короткий среди отрезков из этой точки к прямой. Поэтому расстояние определяют именно по нему.

Причину кратчайшей длины показывает прямоугольный треугольник. Пусть AH перпендикулярен прямой, а AB — наклонный отрезок к другой точке B на прямой. Треугольник AHB прямоугольный: AH — катет, а AB, лежащий напротив прямого угла, — гипотенуза. Гипотенуза длиннее каждого катета, значит AB > AH; так же сравнивается перпендикуляр с любым наклонным отрезком из A.

Сравнивать такие отрезки можно, если они проведены из одной и той же точки к одной прямой. Перпендикуляр в этой паре будет короче наклонного, а наклонный — длиннее расстояния до прямой. Если нужно сравнить два наклонных отрезка, одной этой подсказки недостаточно: можно рассмотреть прямоугольные треугольники и применить теорему Пифагора. Она связывает длины катетов и гипотенузы: c² = a² + b².

Чтобы найти расстояние на чертеже, сначала проверьте, какой отрезок образует с прямой прямой угол. Прямой угол обычно отмечают маленьким квадратиком, а иногда его можно определить с помощью угольника. Затем измерьте линейкой длину перпендикуляра, а не соседнего наклонного отрезка. Если дана схема с числами, используйте длину перпендикуляра, указанную на ней, или найдите её по известным сторонам прямоугольного треугольника.

Перпендикуляр и наклонный отрезок из точки к прямой

В таблице сравниваются отрезки, проведённые из одной точки к одной прямой. Сначала определите угол и точку пересечения с прямой, затем посмотрите на длину и связь с расстоянием. Такое сравнение помогает не перепутать перпендикуляр с наклонным отрезком.

Разбор задач

Задача 1. Из точки A к прямой проведены перпендикуляр AB и отрезок AC. Угол ABC прямой. Укажите, какой отрезок задаёт расстояние от A до прямой. Нужно связать определение расстояния с признаком прямого угла, а не выбирать отрезок по его названию или расположению.

1. Угол ABC образован сторонами BA и BC, поэтому он показывает положение отрезка BC относительно прямой, проходящей через B и C.
2. По условию прямой угол ABC означает, что AB перпендикулярен этой прямой. Следовательно, AB — перпендикуляр из A.
3. Расстояние от A до прямой равно длине перпендикуляра, значит нужно взять отрезок AB.

Ответ: расстояние задаёт отрезок AB, а его длина равна расстоянию от A до прямой.

Задача 2. Из точки вне прямой проведены перпендикуляр длиной 6 см и наклонный отрезок длиной 8 см. Сравните их и объясните, почему перпендикуляр короче. Здесь обе длины относятся к отрезкам из одной точки к одной прямой, поэтому применимо свойство перпендикуляра как кратчайшего отрезка.

1. Перпендикуляр имеет длину 6 см, наклонный отрезок — 8 см.
2. Сравним числа: 6 < 8, следовательно, перпендикуляр короче на 2 см.
3. Это не случайность: если соединить концы отрезков на прямой, получится прямоугольный треугольник. Перпендикуляр будет катетом, а наклонный отрезок — гипотенузой, которая длиннее катета.

Ответ: перпендикуляр короче наклонного отрезка на 2 см; 6 см < 8 см.

Задача 3. Из точки P к прямой проведены наклонные PA и PB и перпендикуляр PH. Известно, что PA = 13 см, PH = 5 см, AH = 12 см, HB = 12 см. Найдите PB и сравните PA и PB. Точка H — основание перпендикуляра, поэтому треугольники PHA и PHB прямоугольные, хотя их наклонные стороны нужно найти или проверить отдельно.

1. Для треугольника PHB применим теорему Пифагора: PB² = PH² + HB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
2. Значит, PB = 13 см, потому что длина отрезка положительна, а 13² = 169.
3. Проверим PA: по данным PH = 5 и AH = 12 получаем PA² = 5² + 12² = 169, то есть PA = 13 см. Следовательно, PA и PB равны.

Ответ: PB = 13 см; PA = PB.

Типичные ошибки

Ошибка: называют расстоянием до прямой длину любого отрезка от точки до неё. Так делают, потому что все такие отрезки действительно соединяют точку с прямой. Но расстояние задаёт только перпендикуляр, он короче наклонных отрезков из той же точки. Проверьте, отмечен ли у выбранного отрезка угол 90°.

Ошибка: путают основание перпендикуляра с длиной перпендикуляра. Это происходит, когда слова «перпендикуляр» и «основание» воспринимают как названия одного объекта. Основание — точка на прямой, а перпендикуляр — отрезок до неё. Для проверки назовите их отдельно: например, H — основание, PH — перпендикуляр.

Ошибка: считают, что из точки к прямой можно провести несколько перпендикуляров. Несколько отрезков могут пересекать прямую под разными углами, но прямой угол задаёт единственный перпендикуляр. Проверьте построение угольником: через одну данную точку к одной прямой получится ровно одно направление под углом 90°.

Ошибка: сравнивают перпендикуляр и наклонный отрезок, проведённые из разных точек. Свойство кратчайшего отрезка относится к отрезкам, которые выходят из одной точки и доходят до одной прямой. Перед сравнением проверьте оба конца отрезков: если начальные точки разные, это свойство напрямую применять нельзя.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь распознавать прямой угол, знать, что такое перпендикулярные прямые, отрезок и длина отрезка. Эти знания помогают правильно построить перпендикуляр и понять, что именно измерять. Если прямой угол не отмечен, его можно проверить чертёжным угольником.

Понятие расстояния пригодится при изучении расстояния между параллельными прямыми: его измеряют отрезком, перпендикулярным обеим прямым. В треугольнике перпендикуляр от вершины к противоположной стороне образует высоту. А в задачах на теорему Пифагора перпендикуляр часто служит катетом прямоугольного треугольника.

Что запомнить

• Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра к этой прямой.
• Основание перпендикуляра лежит на прямой.
• Из точки к данной прямой можно провести только один перпендикуляр.
• Перпендикуляр короче любого наклонного отрезка из той же точки к прямой.
• Наклонный отрезок длиннее перпендикуляра.