§ 43. Соотношение между длинами сторон и величинами углов треугольника

Определения и обозначения

Большая сторона треугольника — сторона, длина которой больше длины каждой из двух остальных. Чтобы сравнить длины, используют знаки >, < и =: например, AB > AC означает, что AB длиннее AC. Большая сторона не просто длиннее одной выбранной стороны, а превосходит обе остальные.

Меньшая сторона треугольника — сторона, длина которой меньше длины каждой из двух остальных. Например, если AB < AC и AB < BC, то AB — меньшая сторона. Если известно только, что AB короче AC, нельзя сразу назвать AB меньшей: она может оказаться длиннее BC.

Больший угол треугольника — угол, градусная мера которого больше мер двух остальных углов. Градусные меры сравнивают по числам: угол в 70° больше угла в 50°. Это определение помогает понять, какой угол связан с самой длинной стороной.

Противолежащие сторона и угол — сторона и угол, у которых нет общей вершины. Чтобы найти такой угол, смотрят на вершину, не входящую в обозначение стороны: напротив AB лежит ∠C, напротив BC — ∠A, напротив AC — ∠B. Такое соответствие нужно установить до сравнения, чтобы не перепутать элементы.

Как это устроено

Если сопоставить длины сторон треугольника с градусными мерами углов напротив них, обнаруживается закономерность: их порядок совпадает. Самая длинная сторона связана с самым большим углом, а самая короткая — с самым маленьким. Это не случайное совпадение, а свойство любого треугольника.

Прямое соотношение формулируют так: против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей стороны — меньший угол. Представим, что AB > AC; напротив AB лежит ∠C, а напротив AC — ∠B, поэтому ∠C > ∠B. Причину можно увидеть с помощью вспомогательной точки D на стороне AB, выбранной так, чтобы AD = AC. Точка D существует между A и B, потому что AB длиннее AC.

В треугольнике ACD стороны AD и AC равны, поэтому углы при вершинах C и D равны. Луч CD делит угол ACB на два угла, а угол ADC является внешним углом треугольника BCD. Внешний угол больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним, значит, ∠ADC > ∠CBD. Лучи BA и BD совпадают, поэтому ∠CBD — это ∠ABC; вместе с равенством ∠ACD = ∠ADC получаем ∠ACB > ∠ABC. Так становится понятно, почему напротив большей стороны не может оказаться меньший угол.

Обратное соотношение звучит так: против большего угла лежит большая сторона. Например, если ∠A > ∠B, то BC > AC, ведь напротив ∠A находится BC, а напротив ∠B — AC. Это можно обосновать сравнением сторон: если бы BC была равна AC, то и углы напротив них были бы равны; если бы BC была меньше AC, прямое соотношение давало бы ∠A < ∠B. Оба варианта противоречат условию, значит, BC > AC.

Если две стороны равны, то равны и углы напротив них; верно и обратное: против равных углов лежат равные стороны. Например, из AB = AC следует ∠C = ∠B, а из ∠B = ∠C — AB = AC. Поэтому в равнобедренном треугольнике равным боковым сторонам соответствуют равные углы при основании, а равные углы показывают, что стороны напротив них равны.

Сравнение сторон треугольника и противолежащих им углов

Пользуйтесь таблицей, сначала найдя противолежащие элементы, а затем выбрав нужную строку. Первая строка помогает перейти от сравнения сторон к сравнению углов или наоборот. Вторая строка применяется, когда известны равные стороны либо равные углы.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC известно, что AB > AC. Сравните углы C и B. Нужно не сравнивать сторону с прилежащим к ней углом, а найти углы напротив AB и AC. После этого можно напрямую применить соотношение сторон и углов.

1. Напротив стороны AB лежит угол C: у стороны AB нет общей вершины с вершиной C. Следовательно, стороне AB соответствует ∠C. Это соответствие определяет первый элемент сравнения.
2. Напротив стороны AC лежит угол B, потому что вершина B не входит в обозначение AC. Из условия AB > AC следует, что угол напротив AB больше угла напротив AC. Значит, ∠C > ∠B.

Ответ: ∠C > ∠B. Проверка: больший угол должен находиться напротив большей из сравниваемых сторон, и здесь это условие выполнено.

Задача 2. В треугольнике ABC известно, что ∠A > ∠B. Сравните стороны BC и AC. Здесь дано сравнение углов, поэтому используем обратное соотношение: сначала определяем стороны напротив каждого угла. Так не перепутаем их с прилежащими сторонами.

1. Напротив ∠A лежит сторона BC, так как вершина A не является её концом. Значит, большему углу A соответствует BC. Это первая сторона в сравнении.
2. Напротив ∠B лежит сторона AC, поскольку вершина B не входит в её обозначение. По обратному соотношению большему углу соответствует большая сторона, поэтому BC > AC.

Ответ: BC > AC. Результат относится именно к сторонам напротив углов A и B, а не к сторонам, которые образуют эти углы.

Задача 3. В треугольнике ABC известно, что AB = AC, а ∠B = 48°. Найдите ∠C и ∠A. Равенство сторон даст равенство углов напротив них, а затем пригодится сумма углов треугольника. Такой порядок позволяет сначала найти один угол, а потом вычислить оставшийся.

1. Напротив AB лежит ∠C, а напротив AC — ∠B. Из AB = AC следует ∠C = ∠B, поэтому ∠C = 48°.
2. Сумма углов треугольника равна 180°. Вычитаем известные углы: ∠A = 180° − 48° − 48° = 84°.

Ответ: ∠C = 48°, ∠A = 84°. Проверка: сумма 48° + 48° + 84° равна 180°, как и должно быть в треугольнике.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сравнивать сторону с углом, который прилегает к ней, то есть имеет с ней общую вершину. Так делают, когда не проверяют соответствие элементов, но правило относится только к противолежащему углу. Для самопроверки найдите вершину, не являющуюся концом стороны: угол при ней и нужно сравнивать.

Вторая ошибка — перепутать название угла: напротив AB лежит ∠C, а не ∠A или ∠B. Ошибка возникает, если ориентироваться на буквы стороны, не проверяя вершины. Проверьте себя так: в обозначении противолежащего угла должна быть единственная вершина, которой нет в обозначении стороны.

Третья ошибка — применить обратное соотношение как прямое: например, из большего угла заключить, что больше прилежащая к нему сторона. Соотношение связывает угол только со стороной напротив него. Перед выводом запишите пару «угол — противолежащая сторона» и проверьте, что не использовали сторону, образующую угол.

Четвёртая ошибка — считать, что равенство одной стороны и одного угла автоматически делает равными остальные элементы. Само по себе такое заключение из этих данных не следует: равенство нужно связать с подходящим утверждением о противолежащих элементах. Проверьте, какие именно элементы даны и какие из них стоят напротив друг друга, прежде чем делать вывод.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, как обозначают вершины, стороны и углы треугольника, и уметь читать градусную меру угла. Также нужно понимать, какие элементы называются противолежащими: это помогает правильно составить пары для сравнения. Новое соотношение пригодится в задачах, где длины сторон или величины углов известны не полностью. Оно также связано со свойствами и признаками равнобедренного треугольника: равные стороны дают равные углы, а равные углы — равные стороны.

Что запомнить

• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
• Против меньшей стороны лежит меньший угол.
• Против большего угла лежит большая сторона.
• Против меньшего угла лежит меньшая сторона.
• Против равных сторон лежат равные углы.
• Против равных углов лежат равные стороны.