§ 44. Касательная к окружности

Определения и обозначения

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Она касается окружности, но не проходит сквозь её внутреннюю часть. Это определение помогает отличить касательную от других прямых и проверить, сколько общих точек нужно найти.

Точка касания — единственная общая точка касательной и окружности. Её часто обозначают буквой, например B, и радиус к ней записывают как OB, если O — центр. По этой точке устанавливают, какой именно радиус нужно рассматривать в задаче.

Отрезок касательной — отрезок касательной от внешней точки до точки касания. Например, если прямая касается окружности в B, а A лежит вне окружности, то AB может быть отрезком касательной. Это понятие нужно, чтобы говорить о длинах и сравнивать отрезки, а не бесконечные прямые.

Касательные, проведённые из одной внешней точки, — две прямые, которые выходят из этой точки и касаются окружности в разных точках. Если касания происходят в B и C, соответствующие отрезки — AB и AC. Именно их длины сравнивают, когда доказывают свойство касательных из общей внешней точки.

Как это устроено

Касательная и секущая различаются числом общих точек с окружностью: у касательной их одна, у секущей — две. Секущая проходит через внутреннюю часть круга, поэтому пересекает границу при входе и выходе. Касательная лишь касается границы и не пересекает круг. Если прямая проходит через точку окружности, этого ещё недостаточно, чтобы назвать её касательной: она может оказаться секущей.

Почему радиус в точку касания перпендикулярен касательной? Расстоянием от центра до прямой считается длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту прямую: среди всех отрезков к прямой он самый короткий. При касании ближайшая точка прямой к центру — именно точка касания, а расстояние от центра до неё равно радиусу. Поэтому радиус к точке касания и есть перпендикуляр к касательной.

Есть и обратное утверждение: если прямая перпендикулярна радиусу в точке окружности, то она касается окружности. Расстояние от центра до этой прямой равно радиусу, значит, на прямой есть точка окружности. Любая другая точка прямой образует с центром прямоугольный треугольник, где радиус — один катет, а расстояние вдоль прямой от точки касания — другой. Гипотенуза длиннее катета, поэтому остальные точки прямой удалены от центра больше радиуса и лежат вне окружности.

Число касательных зависит от того, где находится точка. Внутренняя точка лежит внутри круга, поэтому любая прямая через неё входит в круг и выходит из него, пересекая окружность дважды: касательной она быть не может. В точке окружности существует ровно одна касательная — перпендикуляр к радиусу в этой точке. Если точка находится снаружи, к окружности можно провести две касательные, по одной с каждой стороны.

Отрезки двух касательных из одной внешней точки равны. Чтобы это увидеть, соединяют центр окружности с обеими точками касания и получают два прямоугольных треугольника. Их гипотенуза — один и тот же отрезок от внешней точки до центра, а катеты-радиусы равны, поскольку являются радиусами одной окружности. Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету, поэтому равны и их вторые катеты — отрезки касательных.

Положение точки относительно окружности и число касательных

Сначала определи положение точки: сравни её расстояние до центра с радиусом. Затем по таблице установи, сколько касательных возможно. В обосновании проверяй не только число общих точек, но и перпендикулярность радиуса в точке касания.

Разбор задач

Задача 1. Радиус окружности равен 5 см. Прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу. Определите, является ли эта прямая касательной. Здесь важна не длина радиуса, а то, что прямая перпендикулярна ему именно в точке окружности.

1. Обозначим точку окружности через B, а центр — через O. Тогда OB — радиус, и по условию прямая перпендикулярна OB в точке B.
2. Применим обратное утверждение: прямая, перпендикулярная радиусу в точке окружности, является касательной.
3. Длина радиуса 5 см подтверждает, что OB — радиус, но для вывода о касательной конкретное значение длины не требуется.

Ответ: да, прямая является касательной. Задача 2. Из точки A к окружности с центром O проведена касательная AB, где B — точка касания. Найдите угол OBA и объясните ответ. Чтобы найти угол, нужно определить, как направлены радиус OB и касательная AB в точке B.

1. Отрезок OB — радиус, проведённый в точку касания B.
2. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, значит, OB ⟂ AB.
3. Угол OBA образован лучами BO и BA, поэтому он прямой.

Ответ: ∠OBA = 90°. Задача 3. Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности. Если AB = 7 см, найдите AC и объясните, почему полученные отрезки равны. Оба отрезка соединяют одну внешнюю точку A с точками касания, поэтому применимо свойство касательных.

1. Обозначим центр окружности через O и проведём радиусы OB и OC. Они равны, а каждый перпендикулярен своей касательной.
2. Треугольники AOB и AOC прямоугольные, имеют общую гипотенузу AO и равные катеты OB и OC.
3. Треугольники равны по гипотенузе и катету, следовательно, соответствующие отрезки AB и AC равны. Поэтому AC = AB = 7 см.

Ответ: AC = 7 см. Равенство следует из равенства прямоугольных треугольников AOB и AOC.

Типичные ошибки

Ошибочно называть касательной любую прямую, проходящую через точку окружности. Такая прямая может пересечь окружность ещё раз и тогда будет секущей. Ошибку допускают, замечая только одно пересечение, но не проверяя остальные точки прямой. Проверь себя: у касательной с окружностью должна быть ровно одна общая точка.

Точку касания иногда путают с внешней точкой, из которой проведена касательная. Первая лежит на окружности, а вторая находится за её пределами; они обозначают разные концы отрезка касательной. Путаница мешает правильно записать отрезок, например AB. Проверь себя: точка касания должна быть общей для прямой и окружности.

Нельзя считать, что касательная перпендикулярна любому радиусу. Перпендикулярность относится только к радиусу, проведённому в точку касания; радиус к другой точке окружности может образовывать с касательной иной угол. Эту ошибку допускают, перенося свойство на всю окружность. Проверь, совпадает ли конец радиуса с точкой касания.

Равны не бесконечные касательные-прямые и не любые их части, а только отрезки от общей внешней точки до точек касания. Если отрезки выбраны с разными концами, равенство может быть неверным. Ошибка возникает из-за сокращённой формулировки «касательные равны». Проверь, что оба отрезка начинаются в одной внешней точке и заканчиваются в точках касания.

Связь с другими темами

Для работы с касательной нужно знать, что такое окружность, радиус, хорда и секущая, а также помнить признак перпендикулярных прямых. При доказательстве равенства отрезков касательных пригодятся признаки равенства прямоугольных треугольников и свойство кратчайшего расстояния от точки до прямой. Эти знания применяются при построении касательных циркулем и линейкой, а также в задачах на прямоугольные треугольники и окружность.

Что запомнить

• Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Если прямая перпендикулярна радиусу в точке окружности, она является касательной.
• Из внутренней точки касательную провести нельзя.
• Из точки окружности можно провести одну касательную, из внешней точки — две.
• Отрезки касательных из одной внешней точки равны.