8.10. Касательная к окружности

Определения и обозначения

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Этой точкой касательная как будто «только касается» окружности, не проходя сквозь неё. Для сравнения: секущая пересекает окружность в двух точках. Различать эти прямые нужно, чтобы правильно определять, сколько общих точек у прямой и окружности.

Точка касания — единственная общая точка касательной и окружности. Её обычно обозначают заглавной буквой, например A. Радиус, соединяющий центр O с точкой A, записывают OA. Эта точка помогает точно указать место, где действует свойство перпендикулярности касательной и радиуса.

Отрезок касательной — отрезок, соединяющий внешнюю точку с точкой касания. Если из точки P проведена касательная, касающаяся окружности в A, то отрезок касательной — PA: его концы P и A. Он не включает радиус OA, потому что радиус соединяет центр с точкой касания, а не внешнюю точку с ней.

Равные отрезки касательных — отрезки касательных, проведённые из одной внешней точки к одной окружности. Если из P касательные касаются окружности в A и B, то PA = PB. Это соотношение позволяет находить неизвестные длины, в том числе когда они заданы выражениями с переменной.

Как это устроено

Пусть прямая касается окружности в точке A, а O — её центр. Расстоянием от точки до прямой называют длину кратчайшего отрезка, соединяющего их; таким отрезком всегда служит перпендикуляр. Центр уже находится от окружности на расстоянии радиуса, поэтому точка прямой, ближайшая к O, не может лежать ближе, чем точка A: иначе она оказалась бы внутри круга. Значит, кратчайший отрезок от O к прямой заканчивается в A и совпадает с радиусом OA, поэтому OA перпендикулярен касательной.

Перпендикулярность работает и в обратную сторону — так появляется признак касательной. Пусть прямая проходит через точку A окружности и образует с радиусом OA прямой угол. Если бы прямая пересекала круг ещё в одной точке, эта точка находилась бы дальше от O, чем A, и отрезок от центра к ней был бы длиннее радиуса. Но внутри круга точки расположены от центра ближе радиуса, а вне круга — дальше; значит, прямая не может пройти внутрь круга. Следовательно, она имеет с окружностью только точку A и является касательной.

Из точки P вне окружности можно провести две касательные: они касаются окружности по разные стороны от линии, соединяющей P с центром O. В точках касания A и B радиусы OA и OB перпендикулярны касательным PA и PB. Поэтому треугольники OAP и OBP прямоугольные: их гипотенуза — OP, а один из катетов — радиус. Такая схема помогает увидеть, какие элементы можно сравнить, и применять свойства прямоугольных треугольников.

Почему PA и PB равны? В прямоугольных треугольниках OAP и OBP гипотенуза OP общая, а катеты OA и OB — радиусы одной окружности, поэтому они равны. Прямоугольные треугольники с равными гипотенузами и катетами равны, а значит, равны и их оставшиеся катеты: PA = PB. Равенство относится именно к отрезкам касательных, проведённым из одной точки P; для разных внешних точек оно само по себе не следует.

Чтобы найти угол или длину, сначала отметь точку касания и проведи к ней радиус: так можно получить прямой угол и прямоугольный треугольник. Если нужно найти расстояние от центра до касательной, используй радиус, который перпендикулярен прямой. Если известны две касательные из одной внешней точки, приравняй их длины; например, равенство выражений 3x − 2 и x + 6 превращает геометрическую задачу в уравнение. В задачах на углы прямой угол можно использовать вместе с суммой углов треугольника, равной 180°.

Касательная к окружности: основные определения и свойства

Сначала найди в условии нужную строку: например, проверь, дана касательная или требуется доказать, что прямая ею является. Затем сопоставь условие с выводом и используй подходящее свойство. В последней строке длины равны только тогда, когда обе касательные проведены из одной и той же внешней точки.

Разбор задач

Расстояние от центра до касательной

Условие. Радиус окружности равен 5 см. Прямая касается окружности в точке A. Найдите расстояние от центра окружности до прямой. Расстоянием от точки до прямой считается длина перпендикуляра, опущенного из этой точки.

1. Обозначим центр окружности буквой O и проведём радиус OA к точке касания.
2. Радиус OA перпендикулярен касательной, поэтому OA и есть кратчайшее расстояние от O до прямой.
3. По условию OA = 5 см, следовательно, расстояние от центра до прямой равно 5 см.

Ответ: 5 см.

Сравнение расстояния с радиусом

Условие. Расстояние от центра окружности до прямой равно 6 см, радиус тоже равен 6 см. Определите взаимное расположение прямой и окружности. Здесь важно не спутать расстояние до прямой с расстоянием до произвольной точки на ней: берётся кратчайший отрезок.

1. Сравним расстояние от центра до прямой с радиусом: они равны и составляют 6 см.
2. Кратчайший отрезок от центра к прямой перпендикулярен ей. Его конец находится на расстоянии, равном радиусу, значит, лежит на окружности.
3. Прямая проходит через эту точку окружности под прямым углом к радиусу. По признаку касательной она касается окружности в этой точке.

Ответ: прямая касается окружности.

Длины двух касательных

Условие. Из точки P к окружности проведены касательные PA и PB. Дано PA = 3x − 2 и PB = x + 6. Найдите x и длины отрезков касательных. Так как касательные проведены из одной точки, их длины равны, поэтому выражения можно приравнять.

1. Запишем равенство длин: 3x − 2 = x + 6.
2. Вычтем x из обеих частей и прибавим 2: 2x = 8, откуда x = 4.
3. Подставим найденное значение: PA = 3 · 4 − 2 = 10, а PB = 4 + 6 = 10. Оба значения совпали, что подтверждает вычисление.

Ответ: x = 4; PA = PB = 10.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что касательная перпендикулярна любой прямой, проходящей через точку касания. Перпендикулярен именно радиус, проведённый из центра к этой точке, а другие прямые могут иметь с касательной разные углы. Ошибку допускают, перенося свойство радиуса на все прямые рядом с точкой касания. Проверь себя: назови оба конца отрезка и убедись, что один из них — центр окружности.

Касательную иногда путают с секущей, потому что обе являются прямыми, пересекающими окружность. Но касательная имеет ровно одну общую точку с окружностью, а секущая — две. Чтобы не ошибиться, мысленно посчитай точки пересечения, а не ориентируйся лишь на то, как линия выглядит на рисунке. Если общих точек две, это не касательная.

Нельзя приравнивать длины любых двух касательных к окружности, если они проведены из разных внешних точек. Свойство равенства работает для двух касательных, выходящих из одной и той же точки. Его применяют автоматически, увидев две касательные, и забывают проверить их начало. Перед записью равенства обозначь внешнюю точку и проверь, что оба отрезка начинаются в ней.

Радиус не является частью отрезка касательной. Например, если касательная из P касается окружности в A, отрезок касательной — PA, а OA — радиус; у них общий только конец A. Путаница возникает, когда все отрезки на рисунке возле точки касания называют касательными. Для проверки прочитай название отрезка по концам: у отрезка касательной один конец внешний, второй — точка касания.

Связь с другими темами

Для изучения касательной понадобятся определения окружности и радиуса, а также умение распознавать перпендикулярные прямые и прямоугольный треугольник. Радиус задаёт расстояние от центра до окружности, а перпендикуляр помогает находить кратчайшее расстояние до прямой. Сравнение прямоугольных треугольников объясняет равенство двух отрезков касательных. Эти свойства пригодятся в задачах на окружность, прямоугольные треугольники и геометрические построения.

Что запомнить

• Касательная имеет с окружностью одну общую точку.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Если прямая перпендикулярна радиусу в точке окружности, она является касательной.
• Из одной внешней точки к окружности можно провести две касательные.
• Отрезки касательных, проведённых из одной внешней точки, равны.