9.1. Понятие параллельности прямых

Определения и обозначения

Параллельные прямые — две различные прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Условие «одной плоскости» означает, что обе прямые расположены на одной плоской поверхности, например на листе бумаги. Оно нужно, чтобы не спутать параллельные прямые с прямыми в пространстве, которые не пересекаются, но лежат в разных плоскостях.

Параллельность прямых — отношение между двумя прямыми, при котором они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки. Иными словами, это особый способ взаимного расположения двух прямых. Определение помогает проверить сразу два условия: прямые должны быть в одной плоскости и не должны встречаться.

Параллельность обозначают знаком ∥: a ∥ b читается «прямая a параллельна прямой b». Буквами a и b обычно называют сами прямые, а не отдельные участки, изображённые на чертеже. Такая запись кратко сообщает об их взаимном расположении.

Параллельными отрезками называют отрезки, лежащие на параллельных прямых. Чтобы проверить это, мысленно или на чертеже продолжают прямые, содержащие отрезки, и сравнивают именно эти прямые. У отдельно рассматриваемых отрезков может не быть общей плоскости, содержащей оба отрезка; поэтому определение параллельности относится к их прямым-носителям.

Как это устроено

На плоскости две различные прямые могут иметь общую точку или не иметь её вовсе. Если общая точка есть, прямые пересекаются именно в ней; если точек пересечения нет, они параллельны. Это деление удобно тем, что для двух различных прямых на плоскости оно охватывает все возможные варианты. Совпадающие прямые рассматриваются отдельно, поскольку это не две различные прямые.

В пространстве одной плоскости недостаточно, чтобы описать любую пару прямых: они могут находиться в разных плоскостях. Например, две прямые на разных стенах комнаты могут не встретиться, но их нельзя считать параллельными по школьному определению. Поэтому в определение включили условие общей плоскости: оно выбирает именно тот случай, когда прямые расположены рядом в одной плоскости и не пересекаются.

Фраза «не пересекаются» означает, что у прямых нет ни одной общей точки. Прямая бесконечна в обе стороны, хотя на рисунке обычно показывают лишь небольшой её фрагмент. Поэтому две линии могут выглядеть раздельными на листе, но при продолжении их прямые пересекутся. Чтобы назвать их параллельными, нужно опираться на условие задачи или на доказанные свойства, а не только на видимый участок.

Запись a ∥ b обозначает отношение между прямыми целиком. Она не говорит лишь о том, что отрезки, которыми прямые показаны, идут в одном направлении на рисунке. Это особенно важно при чтении чертежа: продолжение прямых за пределы листа может изменить первое впечатление. Значок ∥ ставят между обозначениями прямых, для которых установлена параллельность.

В прямоугольнике ABCD противоположные стороны параллельны: AB и CD, BC и AD. Чтобы записать это строго, выделяют прямые, содержащие стороны: прямая AB параллельна прямой CD, а прямая BC — прямой AD. Сам отрезок AB не бесконечен, поэтому его параллельность связывают с прямой AB, продолжением которой он является. Такой способ позволяет не смешивать стороны фигуры и прямые.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

В таблице сравниваются два возможных расположения двух различных прямых одной плоскости. Сначала проверь, лежат ли прямые в одной плоскости, затем выясни, есть ли у них общие точки. Если точек нет, можно использовать обозначение параллельности.

Разбор задач

Задача 1. На чертеже даны прямые a и b, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек. Определите их взаимное расположение и запишите это обозначением.

1. Сверяем условие с определением: прямые лежат в одной плоскости.
2. Проверяем второе условие: общих точек нет.
3. Делаем вывод, что прямые параллельны, и записываем a ∥ b.

Ответ: прямые a и b параллельны; a ∥ b. Здесь оба условия даны непосредственно, поэтому не требуется делать вывод по внешнему виду линий. Именно проверка определения позволяет выбрать запись без догадок.

Задача 2. Две прямые изображены на небольшом участке листа и на рисунке не пересекаются. Можно ли только по этому рисунку заключить, что они параллельны?

1. Отделяем изображённые части от прямых: каждая прямая продолжается за пределы показанного участка.
2. Проверяем, сообщено ли, что обе прямые лежат в одной плоскости. Одного рисунка для этого может быть недостаточно.
3. Учитываем, что при продолжении линии могут пересечься за границами листа. Значит, видимого отсутствия пересечения недостаточно для вывода.

Ответ: нет, только по коротким изображениям заключить о параллельности нельзя. Нужно знать взаимное расположение прямых целиком и подтвердить условия определения. Если условие задачи дополнительно задаёт их принадлежность одной плоскости и отсутствие общих точек, тогда прямые параллельны.

Задача 3. В прямоугольнике ABCD назовите пары параллельных сторон и запишите соответствующие отношения между прямыми, содержащими эти стороны.

1. Находим противоположные стороны прямоугольника: AB и CD, а также BC и AD.
2. Переходим от отрезков к прямым, которые их содержат: прямая AB и прямая CD; прямая BC и прямая AD.
3. Записываем отношения параллельности для этих пар прямых.

Ответ: прямые AB ∥ CD и прямые BC ∥ AD. Именно противоположные стороны прямоугольника лежат на параллельных прямых. Запись относится к прямым-носителям сторон, а не только к конечным отрезкам на рисунке.

Типичные ошибки

Считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Так ошибаются, когда забывают про условие одной плоскости и переносят правило с листа бумаги на пространство. Проверь, заданы ли обе прямые в одной плоскости; если нет, одного отсутствия пересечения недостаточно.

Делать вывод о параллельности только по рисунку. Короткие отрезки на чертеже могут не встретиться, хотя прямые пересекутся за пределами листа. Так происходит потому, что рисунок показывает только часть каждой прямой. Проверь, есть ли в условии сведения о прямых целиком, а не только об их изображённых участках.

Называть отрезки параллельными по внешнему виду. Отрезки могут казаться одинаково направленными из-за особенностей чертежа, но нужно учитывать прямые, на которых они лежат. Продолжи мысленно эти прямые и проверь, установлена ли их параллельность. Если известны только отдельные отрезки, не подменяй ими прямые-носители.

Смешивать параллельные и совпадающие прямые. Их могут спутать, потому что и те и другие не образуют обычного пересечения под углом. Но параллельные прямые различны и не имеют общих точек, а совпадающие состоят из одних и тех же точек. Для проверки выясни, одна ли это прямая или две разные.

Связь с другими темами

Для изучения параллельности нужны понятия точки, прямой и плоскости, а также умение определять, пересекаются ли геометрические объекты. Эти знания помогают точно читать условия и чертежи. Позже параллельность понадобится при изучении признаков и свойств параллельных прямых, углов при секущей и свойств геометрических фигур. Так одно простое отношение станет инструментом для решения более сложных задач.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости.
• Параллельные прямые не имеют общих точек.
• Параллельность рассматривают для двух различных прямых.
• Параллельность записывают знаком ∥.
• Отсутствие пересечения на части чертежа ещё не доказывает параллельность.
• Параллельными могут быть стороны фигуры, если прямые, содержащие их, параллельны.