"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Параллельные прямые не пересекаются, а углы, образованные секущей, помогают распознать или доказать их параллельность. Накрест лежащие и соответственные углы при параллельных прямых равны, а односторонние в сумме дают 180°. Центральная симметрия переносит точку на противоположную сторону от центра на такое же расстояние. Эти понятия нужны, чтобы доказывать геометрические утверждения, находить углы и строить образы фигур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Если прямые a и b параллельны, записывают a ∥ b. Такое обозначение помогает кратко сообщить, что общих точек у этих прямых нет, и использовать свойства параллельных прямых.
Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. В местах пересечения она образует углы, которые рассматривают парами: например, накрест лежащими или соответственными. Название пары подсказывает, где расположены углы, и помогает выбрать нужное правило.
Центральная симметрия относительно точки O — преобразование, при котором точка A переходит в точку A′ по другую сторону от O на таком же расстоянии. Точки A, O и A′ лежат на одной прямой, а OA = OA′. Это правило позволяет не только представить преобразование, но и точно построить образ точки.
Центр симметрии — точка, относительно которой фигура при центральной симметрии переходит сама в себя. Для каждой точки фигуры её образ тоже должен принадлежать этой фигуре. Это понятие помогает распознать симметричные фигуры и определить их особую точку.
Представь две прямые, пересечённые третьей — секущей. Между двумя прямыми находятся четыре угла: углы по разные стороны секущей образуют пары накрест лежащих, а углы по одну сторону — односторонних. Углы, занимающие одинаковое положение у двух точек пересечения, называют соответственными. Сначала определи положение углов, и только потом выбирай правило: иначе можно сравнить не ту пару.
Если накрест лежащие углы равны или соответственные углы равны, две прямые параллельны. То же заключение можно сделать, если сумма односторонних углов равна 180°. Это признаки: по известным углам мы устанавливаем, что прямые не пересекутся. Причина в том, что при пересечении параллельных прямых секущей такие соотношения обязательно возникают; если они выполнены, направление прямых согласуется с параллельностью.
Если параллельность прямых уже дана или доказана, можно находить неизвестные углы. Накрест лежащие углы равны, как и соответственные, а односторонние в сумме составляют 180°. Последнее связано с тем, что односторонние углы вместе образуют развернутый угол после учёта равенства углов при пересечении. Поэтому, например, зная один односторонний угол, второй находят вычитанием из 180°.
Чтобы построить точку A′, симметричную A относительно O, проведи прямую AO и продолжи её за центр. Отложи от O расстояние, равное OA: полученная точка и есть A′. Проверка строится на определении: точки должны лежать на одной прямой, а O — быть серединой отрезка AA′. Если A совпадает с O, её образ остаётся на месте.
Центральная симметрия переносится с точек на всю фигуру: построй образ каждой вершины, соблюдая одно и то же правило относительно центра. Затем соедини полученные точки в том же порядке, что и исходные вершины; например, для треугольника ABC получится A′B′C′. Порядок соединения сохраняет соответствие сторон фигуры. Проверить результат можно отдельно для каждой вершины: центр должен быть серединой отрезка, соединяющего её с образом.
Таблица помогает быстро выбрать нужное правило: сначала найди в первом столбце ситуацию, затем прочитай, как её распознать и какое свойство применить. Не смешивай признак параллельности со свойством: признак доказывает параллельность, а свойство используется после того, как она известна.
| Понятие или отношение | Как распознать или задать | Основное свойство |
|---|---|---|
| Параллельные прямые | Прямые одной плоскости не пересекаются; пишут a ∥ b | При пересечении секущей возникают связанные соотношениями пары углов |
| Признаки параллельности по углам секущей | Сравнить накрест лежащие или соответственные углы либо сложить односторонние | Равные накрест лежащие или соответственные углы, сумма односторонних 180° — признак параллельности |
| Углы при параллельных прямых и секущей | Параллельность прямых уже известна | Накрест лежащие и соответственные равны; односторонние дают 180° |
| Центрально симметричные точки | A, O, A′ лежат на одной прямой; OA = OA′ | O — середина AA′ |
| Фигура с центром симметрии | Образы точек фигуры при преобразовании принадлежат ей | Фигура переходит сама в себя |
Задача 1. На рисунке две прямые пересечены секущей. Накрест лежащие углы равны 65°. Определите, параллельны ли прямые, и обоснуйте ответ. Здесь важно не вычислять дополнительные углы, а применить соотношение, которое дано в условии. Равенство нужной пары напрямую проверяет признак параллельности.
Ответ: прямые параллельны, потому что накрест лежащие углы равны.
Задача 2. Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из односторонних углов равен 124°. Найдите второй. Так как прямые параллельны, можно применить свойство односторонних углов, а не признак. Их сумма равна 180°, поэтому неизвестный угол найдём вычитанием.
Ответ: 56°.
Задача 3. Постройте образ треугольника ABC при центральной симметрии относительно точки O и объясните, как проверить построение. Преобразование задаётся для каждой точки отдельно, поэтому сначала найдём образы вершин. После этого останется восстановить границу треугольника по соответствующим точкам.
Ответ: искомый образ — треугольник A′B′C′; построение верно, если центр O является серединой отрезка между каждой исходной вершиной и её образом.
Ошибка: считать параллельными любые две прямые, которые не пересекаются на чертеже. Рисунок может быть неточным или показывать только часть прямых, поэтому отсутствие видимого пересечения ещё ничего не доказывает. Проверь условие по определению или установи параллельность с помощью углового признака.
Ошибка: перепутать пары углов при секущей и применить правило не к тем углам. Это случается, если смотреть только на величину углов, не проверив их положение относительно прямых и секущей. Найди точки пересечения, отметь область между прямыми и стороны секущей, а затем назови пару.
Ошибка: приравнять односторонние углы. Ученик может перенести на них правило о равенстве накрест лежащих углов, хотя односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°. Проверь себя: если один угол 124°, второй должен быть 56°, а не 124°.
Ошибка: построить образ точки на той же стороне от центра или на другом расстоянии. Тогда центр не окажется серединой отрезка между точкой и её образом, хотя именно это задаёт центральную симметрию. Проведи прямую через точку и центр, отложи равное расстояние за центр и проверь OA = OA′.
Для работы с углами при секущей нужно знать виды углов и свойства смежных углов: смежные углы в сумме дают 180°. Это помогает распознавать пары и вычислять неизвестные величины. Признаки параллельности применяют в доказательствах и задачах, где прямые пересечены секущей. Центральная симметрия относится к преобразованиям фигур: она позволяет строить изображения и исследовать их свойства.
Как отличить признак параллельности от свойства параллельных прямых?
Свойство применяют, когда параллельность уже известна: оно позволяет найти углы. Признак работает наоборот: по равенству накрест лежащих или соответственных углов либо по сумме односторонних 180° доказывают, что прямые параллельны.
Какие углы при секущей называют накрест лежащими?
Это углы, лежащие между двумя прямыми по разные стороны от секущей. Они находятся у разных точек пересечения.
Почему равенство односторонних углов не является признаком параллельности?
Для параллельных прямых односторонние углы не равны в общем случае, а дают в сумме 180°. Например, один может быть 124°, а другой — 56°. Поэтому признаком служит именно сумма, а не равенство.
Как построить точку, симметричную данной относительно центра?
Проведи прямую через данную точку A и центр O. На продолжении за O отметь точку A′ так, чтобы OA′ = OA. Тогда O будет серединой AA′, а A′ — искомым образом.
Как проверить, что точка действительно является центром симметрии фигуры?
Проверь, что при отражении каждой точки фигуры через предполагаемый центр её образ тоже принадлежит фигуре. Для конечной фигуры удобно проверить вершины: центр должен быть серединой отрезка между каждой вершиной и соответствующей ей вершиной-образом.
9.2. Параллельность прямых и центральная симметрия
