"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Параллельность и перпендикулярность помогают описывать, как расположены прямые на плоскости, и доказывать свойства геометрических фигур. Параллельные прямые не пересекаются, а перпендикулярные встречаются под прямым углом. Если прямые пересекает секущая, по образовавшимся углам можно установить, параллельны ли эти прямые. Главное — верно определить пары углов и применить нужный признак.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — это прямые одной плоскости, которые не пересекаются, сколько бы далеко их ни продолжали. Параллельность прямых a и b записывают так: a ∥ b. Это понятие помогает точно описать расположение прямых и использовать его при доказательстве свойств фигур.
Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом, то есть под углом 90°. Запись a ⟂ b означает, что прямые a и b перпендикулярны. Такое обозначение позволяет сразу увидеть, что при пересечении прямых образуются прямые углы.
Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. В каждом месте пересечения возникают четыре угла, а всего их восемь; по взаимному расположению выделяют пары накрест лежащих, соответственных и односторонних углов. Эти пары нужны, чтобы по углам проверить параллельность прямых.
Две прямые одной плоскости могут пересекаться в одной точке, не иметь общих точек или совпадать. Если они пересекаются, у них ровно одна общая точка; если не пересекаются, они параллельны. Совпадающие прямые имеют все точки общими, поэтому это не две разные параллельные прямые. Различать эти случаи важно, чтобы верно описать взаимное расположение прямых.
Проверять параллельность удобно с помощью секущей, потому что её пересечения с прямыми создают углы, которые можно сравнить. Если сами прямые на чертеже идут почти рядом, по внешнему виду нельзя надёжно решить, пересекутся ли они при продолжении. Угловые отношения дают точное основание для вывода. Поэтому в задаче сначала находят, какие углы образовала секущая, и только потом сравнивают их.
Если накрест лежащие углы равны, пересечённые секущей прямые параллельны; то же заключение делают, когда равны соответственные углы. Ещё один признак: сумма односторонних углов равна 180°. Эти условия работают потому, что при параллельных прямых секущая создаёт определённые равенства и суммы углов. Если одно из условий выполнено, по обратному утверждению можно заключить, что прямые параллельны.
Прямой угол равен 90°, поэтому пересечение двух прямых хотя бы под одним таким углом сразу показывает, что они перпендикулярны. Остальные углы подтверждают этот вывод: смежный с прямым углом тоже прямой, так как сумма смежных углов равна 180°, а вертикальный ему равен. Значит, все четыре угла при пересечении равны 90°. Достаточно установить величину одного угла, а не измерять каждый.
Параллельность сохраняет угловые отношения при пересечении прямых секущей. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, один из соответственных углов при пересечениях равен 90°. Соответственный ему угол при второй прямой тоже равен 90°, поэтому и она перпендикулярна третьей. Это свойство позволяет переносить перпендикулярность с одной параллельной прямой на другую.
Сравнивайте пары углов по их положению относительно секущей, а затем используйте подходящее условие из таблицы. Признаки помогают доказать параллельность, а свойства описывают углы, которые возникают, если параллельность уже известна. Для перпендикулярности достаточно найти угол 90°.
| Признак или свойство | Параллельные прямые | Перпендикулярные прямые |
|---|---|---|
| Взаимное расположение | Лежат в одной плоскости и не пересекаются | Пересекаются под прямым углом |
| Обозначение | a ∥ b | a ⟂ b |
| Условие по углам | Накрест лежащие или соответственные углы равны; односторонние в сумме дают 180° | Один из углов равен 90° |
| Что можно заключить по секущей | Накрест лежащие и соответственные углы равны, односторонние дают 180° | При пересечении образуются четыре прямых угла |
| Связь с другими прямыми | Если одна параллельная прямая перпендикулярна третьей, другая тоже перпендикулярна ей | С прямой, параллельной одной из перпендикулярных, также образует угол 90° |
Задача 1. Две прямые пересечены секущей. Один из накрест лежащих углов равен 63°, другой — 63°. Определите взаимное расположение прямых.
Ответ: прямые параллельны.
Задача 2. При пересечении двух прямых один из углов равен 90°. Определите вид прямых и найдите величины остальных углов.
Ответ: прямые перпендикулярны; каждый из трёх остальных углов равен 90°.
Задача 3. Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из односторонних углов равен 118°. Найдите второй угол и объясните, почему прямые параллельны.
Ответ: второй односторонний угол равен 62°; прямые параллельны по условию задачи.
Ошибка — считать параллельными любые две прямые, которые не пересекаются. Так можно решить по рисунку или забыть, что определение относится к прямым одной плоскости. Проверьте, рассматриваются ли прямые в одной плоскости и не имеют ли они общей точки. Только тогда слово «параллельные» подходит по определению.
Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы легко перепутать, если смотреть только на их величины. Ошибка возникает, когда положение относительно секущей и двух прямых не проверяют. Отметьте секущую, места пересечения и область между прямыми, а затем определите нужную пару. Если расположение не соответствует признаку, этот признак применять нельзя.
Равенство любых двух углов не доказывает параллельность прямых. Иногда ученик видит одинаковые числа и сразу делает вывод, не выяснив, какая именно пара дана. Перед доказательством назовите углы: накрест лежащие или соответственные. Для односторонних углов проверяют не равенство, а сумму 180°.
Острый или тупой угол сам по себе не означает, что прямые перпендикулярны. Такую ошибку допускают, когда ориентируются на вид чертежа, а не на величину угла. Для перпендикулярности угол должен быть ровно 90°. Проверьте значение по условию или по вычислению, используя свойства смежных и вертикальных углов.
Перед изучением параллельности и перпендикулярности нужно уметь различать острые, тупые и прямые углы, а также знать свойства смежных и вертикальных углов. Именно эти свойства помогают находить неизвестные углы при пересечении прямых. Новые признаки связывают расположение прямых с величинами углов и позволяют обосновать вывод, а не делать его только по чертежу.
Эти понятия пригодятся при изучении треугольников и четырёхугольников: их стороны могут быть параллельными или перпендикулярными. Они также используются в геометрических построениях и доказательствах. Умение работать с секущей помогает находить углы и устанавливать свойства фигур, даже если на рисунке не указаны все величины.
Как обозначают параллельные прямые?
Параллельность прямых a и b обозначают a ∥ b. Это означает, что прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Как определить, что две прямые перпендикулярны?
Нужно проверить, пересекаются ли прямые под прямым углом. Если один из образовавшихся углов равен 90°, прямые перпендикулярны; это обозначают a ⟂ b.
Какие углы образуются, когда две прямые пересечены секущей?
Секущая образует с каждой из двух прямых углы, среди которых выделяют накрест лежащие, соответственные и односторонние. Их положение определяют относительно секущей и пространства между двумя прямыми.
Как по углам доказать, что прямые параллельны?
Если накрест лежащие углы равны или соответственные углы равны, прямые параллельны. Также параллельность следует из того, что сумма односторонних углов равна 180°.
Если одна из параллельных прямых перпендикулярна третьей, что можно сказать о второй?
Вторая прямая тоже перпендикулярна третьей. Секущая образует с параллельными прямыми равные соответственные углы, поэтому прямой угол сохраняется.
9.3. Параллельность и перпендикулярность прямых
