§ 16. Касательная к окружности

Определения и обозначения

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Иначе говоря, она только касается окружности, но не проходит сквозь неё. Это определение помогает отличить касательную от прямой, которая пересекает окружность дважды. По числу общих точек можно определить положение прямой.

Точка касания — единственная общая точка касательной и окружности. Радиус, проведённый из центра в эту точку, называют радиусом точки касания. Например, если касательная касается окружности в A, то OA — радиус точки касания, где O — центр. Это обозначение пригодится, чтобы записать свойство о прямом угле между OA и касательной.

Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. В отличие от неё, касательная имеет только одну общую точку с окружностью. Если прямая не касается и не пересекает окружность, общих точек у них нет. Такое сравнение позволяет не путать три возможных положения прямой.

Отрезки касательных — части касательных от точки вне окружности до точек касания. Например, если из точки P проведены касательные, касающиеся окружности в A и B, то PA и PB — отрезки касательных. Их рассматривают вместе, потому что отрезки, проведённые из одной внешней точки, равны. Это свойство помогает находить неизвестную длину.

Как это устроено

Положение прямой относительно окружности можно определить по числу точек пересечения. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, прямая проходит в стороне и общих точек нет. Если расстояние меньше радиуса, прямая пересекает окружность в двух точках и называется секущей. Когда расстояние равно радиусу, остаётся одна общая точка — прямая является касательной.

Радиус к точке касания перпендикулярен касательной не случайно. Из центра окружности можно опустить на прямую перпендикуляр, и этот отрезок будет кратчайшим расстоянием от центра до прямой. При касании это расстояние равно радиусу: точка касания лежит на окружности, а значит, удалена от центра ровно на радиус. Следовательно, перпендикуляр попадает именно в точку касания, а радиус и касательная образуют прямой угол.

Верно и обратное утверждение: если прямая перпендикулярна радиусу в его конце, лежащем на окружности, то она касается окружности. Расстояние от центра до этой прямой равно длине перпендикуляра, то есть радиусу. Другие точки окружности дальше от прямой, поэтому прямая не может пересечь окружность ещё раз. Значит, общей остаётся только точка, в которой заканчивается радиус.

Пусть из точки P вне окружности проведены касательные PA и PB, где A и B — точки касания, а O — центр. Радиусы OA и OB равны, потому что оба являются радиусами одной окружности. Треугольники OAP и OBP прямоугольные, имеют общую гипотенузу OP и равные катеты OA и OB. Поэтому треугольники равны, а соответствующие отрезки PA и PB тоже равны.

В задачах сначала отмечают прямой угол между радиусом и касательной. Если известны две касательные из одной точки, можно приравнять их отрезки; если известны расстояние до центра и радиус, используют прямоугольный треугольник. Например, из теоремы Пифагора для касательной PA следует OP² = OA² + PA². Значит, PA² = OP² − OA², и длину касательной можно найти как √(OP² − OA²).

Положение прямой относительно окружности

Сначала определите число общих точек, затем найдите соответствующую строку таблицы. Связь с радиусом объясняет, почему при касании остаётся ровно одна точка. В задачах, где даны расстояние от центра до прямой и радиус, это сравнение помогает определить положение прямой.

Разбор задач

Задача 1

Радиус окружности равен 5 см. Прямая касается окружности в точке A. Найдите угол между радиусом OA и этой прямой. Чтобы найти угол, не нужно использовать длину радиуса: решающим является то, что прямая касается окружности. Для точки касания действует свойство перпендикулярности.

1. Радиус OA проведён из центра O в точку касания A.
2. По свойству касательной OA перпендикулярен прямой, значит, угол между ними прямой.
3. Прямой угол равен 90°; значение радиуса на ответ не влияет.

Ответ: 90°.

Задача 2

Из точки P вне окружности проведены касательные PA и PB. Известно, что PA = 7 см. Найдите PB. Здесь обе касательные проведены к одной окружности и начинаются в одной точке P, поэтому можно применить свойство равенства отрезков. Не следует искать радиус или расстояние до центра: данных для этого не требуется.

1. Проверяем условия: PA и PB — касательные к одной окружности, проведённые из P.
2. По свойству отрезков касательных PA = PB.
3. Подставляем известную длину: PB = 7 см.

Ответ: 7 см.

Задача 3

Из точки P к окружности с центром O проведена касательная PA. Известно, что OP = 13 см, OA = 5 см. Найдите PA. Радиус OA и касательная PA перпендикулярны, поэтому треугольник OAP прямоугольный при A. Расстояние OP от внешней точки до центра лежит напротив прямого угла и является гипотенузой.

1. Записываем теорему Пифагора: OP² = OA² + PA².
2. Выражаем неизвестный катет: PA² = OP² − OA².
3. Подставляем значения: PA² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
4. Длина отрезка положительна, поэтому PA = √144 = 12 см.

Ответ: 12 см.

Типичные ошибки

Ошибка: называть касательной прямую с двумя общими точками с окружностью. Так бывает, когда в разговоре смешивают «касается» и «пересекает». Но две общие точки означают, что прямая является секущей. Проверьте себя: посчитайте точки пересечения — у касательной должна быть ровно одна.

Ошибка: считать, что радиус перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку окружности. Само прохождение через эту точку ещё не означает, что прямая касается окружности. Перпендикулярность гарантирована для касательной, а не для любой прямой. Для проверки выясните, задана ли касательная или доказано ли, что прямая перпендикулярна радиусу.

Ошибка: утверждать, что любые касательные к окружности имеют равные отрезки. Можно упустить условие, откуда они проведены. Равны отрезки касательных к одной окружности, выходящие из одной внешней точки, а отрезки из разных точек сравнивать так нельзя. Перед равенством обозначьте общую точку, из которой идут обе касательные.

Ошибка: применять равенство отрезков, не убедившись, что обе прямые действительно касаются окружности и проведены из одной точки. Иногда похожие на касательные отрезки принимают за касательные без достаточных оснований. В результате нужное свойство используют там, где его условия не выполнены. Проверьте, что каждая прямая имеет с окружностью одну общую точку и что начало обоих отрезков совпадает.

Связь с другими темами

Для изучения касательной нужны понятия окружности, радиуса, прямой и перпендикулярных прямых. Радиус показывает расстояние от центра до окружности, а перпендикуляр позволяет распознать прямой угол. Без этих понятий нельзя обосновать главное свойство касательной. Поэтому их полезно вспомнить перед решением задач.

Свойства касательной связывают геометрию окружности с задачами на прямоугольные треугольники. Перпендикулярность радиуса даёт возможность применять теорему Пифагора, а равенство отрезков касательных помогает составлять равенства длин. Эти знания пригодятся и при построении касательных: точку касания можно проверить с помощью прямого угла между радиусом и прямой.

Что запомнить

• Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Если прямая перпендикулярна радиусу в точке окружности, она касается окружности.
• Касательные, проведённые из одной внешней точки, равны по длине.
• Радиусы к точкам касания равны как радиусы одной окружности.
• В треугольнике, образованном центром, точкой касания и внешней точкой, угол при точке касания прямой.