"Геометрия", Погорелов А.В.
Касательная к окружности — прямая, которая касается окружности в одной точке. Эта точка называется точкой касания, а радиус, проведённый к ней из центра, всегда перпендикулярен касательной. По этому свойству можно находить углы и длины отрезков, а также доказывать, что прямая является касательной. Если из точки на касательной провести отрезок к центру, получится прямоугольный треугольник.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной точки, называемой центром. Обозначим центр буквой O, а одну из точек окружности — буквой A; расстояние OA называют радиусом. Так можно точно задать окружность: все её точки находятся от O на одном и том же расстоянии.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Например, если прямая l касается окружности в точке A, то её пересечение с окружностью состоит только из A. Это определение помогает отличить касательную от прямой, которая пересекает окружность дважды или вовсе не встречается с ней.
Общую точку касательной и окружности называют точкой касания. Если прямая l касается окружности в точке A, точку касания обозначают той же буквой A, что и соответствующую точку окружности. Она нужна, чтобы указать место, в котором касательная соприкасается с окружностью.
Отрезок, соединяющий центр O с точкой касания A, называют радиусом, проведённым в точку касания. Его обозначают OA; конец O находится в центре, а конец A — на окружности и касательной. Это обозначение важно, потому что именно этот радиус перпендикулярен касательной.
На чертеже прямая может занимать относительно окружности три положения. Касательная касается окружности в одной точке, секущая пересекает её в двух точках, а прямая, не имеющая с окружностью общих точек, проходит снаружи. Если провести из центра перпендикуляр к прямой, длина этого отрезка покажет, какое положение занимает прямая.
Теорема утверждает: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Пусть l касается окружности в A, а O — её центр. Если OA не перпендикулярен l, то перпендикуляр OH, опущенный из O на l, будет короче наклонного отрезка OA. Значит, OH < OA, то есть расстояние от центра до l меньше радиуса.
Но прямая, расстояние от которой до центра меньше радиуса, проходит внутри круга и пересекает окружность в двух точках. Это противоречит тому, что l — касательная и у неё с окружностью только одна общая точка. Поэтому предположение неверно и OA ⟂ l. В основе рассуждения лежит свойство: перпендикуляр от точки до прямой короче любого наклонного отрезка к этой прямой.
Верно и обратное утверждение: если прямая проходит через точку A окружности и перпендикулярна радиусу OA, то она является касательной. Здесь нужны оба условия: A должна лежать на окружности, а перпендикулярность должна быть именно к радиусу, проведённому в A. Это утверждение позволяет доказывать касание, даже если число общих точек заранее неизвестно.
Касательная и радиус в точке касания образуют прямой угол, поэтому треугольник с вершинами в центре O, точке касания A и точке B на касательной прямоугольный при A. Если известны длины двух его сторон, третью находят по теореме Пифагора: например, OB² = OA² + AB². Углы тоже можно определить с учётом прямого угла: если известен один острый угол этого треугольника, второй равен 90° минус первый.
| Положение прямой | Общие точки с окружностью | Расстояние от центра до прямой | Связь с радиусом |
|---|---|---|---|
| Касательная | 1 | Равно радиусу | d = r |
| Секущая | 2 | Меньше радиуса | d < r |
| Прямая, не пересекающая окружность | 0 | Больше радиуса | d > r |
Здесь d — расстояние от центра до прямой, то есть длина перпендикуляра, а r — радиус окружности. Сначала сравните d и r, затем по таблице определите число общих точек и положение прямой. Равенство d = r означает касание, а не пересечение в двух точках.
Задача 1. Радиус OA проведён в точку A окружности, а прямая l касается окружности в точке A. Найдите угол между OA и l.
Ответ: 90°.
Задача 2. Из точки A проведена касательная к окружности с центром O; точка касания — B. Найдите OB, если OA = 13 см, AB = 12 см.
Ответ: 5 см.
Задача 3. В точке A окружности проведена прямая l, перпендикулярная радиусу OA. Докажите, что l — касательная к окружности.
Ответ: l — касательная к окружности в точке A.
Ошибка: считать, что касательная перпендикулярна любой прямой, проходящей через центр. Перпендикулярна только та касательная, для которой рассматривают радиус к точке касания; другие прямые через центр могут иметь любой наклон. Проверьте, соединяет ли выбранный радиус центр именно с точкой касания.
Ошибка: путать касательную и секущую, называя касательной прямую с двумя общими точками. Так происходит, если не пересчитать точки пересечения на чертеже. Проверьте определение: одна общая точка — касательная, две — секущая.
Ошибка: применять обратное утверждение, не проверив оба его условия. Одной перпендикулярности недостаточно, если прямая не проходит через точку окружности или перпендикулярна не радиусу к этой точке. Перед доказательством касания отметьте, что A лежит на окружности и OA ⟂ l.
Ошибка: считать отрезок от центра до точки касания касательной. Это радиус OA, а касательная — прямая, проходящая через A и перпендикулярная OA. Чтобы не смешать их, проверьте обозначения: отрезок соединяет две точки, а прямая продолжается в обе стороны.
Для изучения касательных нужно знать, что такое окружность и радиус, а также понимать, когда прямые перпендикулярны. При решении задач пригодятся свойства прямоугольного треугольника, прежде всего теорема Пифагора. Они позволяют перейти от чертежа к вычислениям длин и углов.
Свойство касательной помогает находить неизвестные отрезки и углы в геометрических задачах. Обратная теорема используется в доказательствах: по перпендикулярности радиуса можно установить, что прямая касается окружности. Эти приёмы встречаются и при изучении других свойств геометрических фигур.
Сколько общих точек у касательной и окружности?
Ровно одна. Она называется точкой касания.
Почему радиус перпендикулярен касательной в точке касания?
Если бы радиус не был перпендикулярен касательной, расстояние от центра до этой прямой было бы меньше радиуса. Тогда прямая пересекла бы окружность в двух точках, а не касалась её.
Как доказать, что данная прямая является касательной?
Нужно проверить, что прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. По обратной теореме такая прямая является касательной.
Можно ли провести касательную через точку внутри окружности?
Нет. Прямая через внутреннюю точку пересекает окружность в двух точках или касается её только в особом случае, если точка лежит на окружности. Поэтому касательная не может проходить через точку строго внутри окружности.
Как найти длину радиуса или отрезка касательной?
Радиус и касательная в точке касания образуют прямой угол. Поэтому в треугольнике с центром, точкой касания и точкой на касательной можно применить теорему Пифагора.
40. Касательная к окружности
