"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Касательная к окружности — прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания, а радиус, проведённый к ней, перпендикулярен касательной. Это свойство помогает распознавать касательные и находить неизвестные углы и длины. Если из одной внешней точки провести две касательные, отрезки от этой точки до точек касания будут равны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Прямая, проходящая через окружность и имеющая две общие точки, касательной не является. Это определение помогает сразу отличить касательную от прямой, пересекающей окружность.
Единственная общая точка касательной и окружности называется точкой касания. Её обычно обозначают буквой, например T. Название показывает, в каком месте прямая касается окружности, и позволяет точно описывать геометрическую фигуру.
Радиус, проведённый в точку касания, — отрезок, соединяющий центр окружности с этой точкой. Если O — центр, а T — точка касания, то OT — такой радиус. Он нужен, чтобы использовать связь касательной с центром и доказывать перпендикулярность.
Отрезок касательной от внешней точки до точки касания — часть касательной, ограниченная этими двумя точками. Например, если из точки A проведена касательная, касающаяся окружности в B, то AB — отрезок касательной. Его не следует путать со всей прямой, на которой он лежит.
Пусть прямая касается окружности в точке T, а O — её центр. Опустим из O перпендикуляр на прямую; кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряется именно таким перпендикуляром. Если бы его основание не совпало с T, это расстояние было бы меньше OT, то есть меньше радиуса. Тогда прямая проходила бы внутри окружности и пересекала её по обе стороны от ближайшей к центру точки, получая две общие точки. Это противоречит определению касательной, поэтому OT перпендикулярен касательной.
Верно и обратное утверждение: если прямая проходит через точку T окружности и перпендикулярна радиусу OT, то она касается окружности в T. Действительно, расстояние от центра O до этой прямой равно длине перпендикуляра OT, а она равна радиусу. Ни одна другая точка прямой не может лежать на окружности: для неё расстояние до O было бы больше OT, поскольку получился бы прямоугольный треугольник с OT как одним катетом. Поэтому общей точкой остаётся только T.
Перпендикулярность радиуса и касательной даёт прямой угол, значит, из этих отрезков можно составить прямоугольный треугольник. Если известны две стороны, можно найти третью по теореме Пифагора, а если известны углы — использовать сумму углов треугольника, равную 180°. Например, радиус к точке касания и отрезок касательной образуют катеты такого треугольника, если соединить центр с внешней точкой. Это превращает задачу о касательной в знакомую задачу о прямоугольном треугольнике.
Пусть из одной внешней точки A проведены касательные AB и AC, где B и C — точки касания, а O — центр. Радиусы OB и OC перпендикулярны соответствующим касательным, поэтому треугольники OBA и OCA прямоугольные. Их гипотенуза OA общая, а катеты OB и OC равны как радиусы одной окружности. Значит, треугольники равны, и соответствующие отрезки AB и AC тоже равны.
Чтобы проверить, является ли прямая касательной, сначала найди точку окружности, через которую она проходит, и соедини её с центром. Затем проверь, образуют ли радиус и прямая прямой угол. Если да, прямая касается окружности по обратному утверждению; если нет, условие касания не выполнено. Другой способ — опустить из центра перпендикуляр на прямую и сравнить его длину с радиусом: для касательной эти длины равны.
| Ситуация | Условие или свойство | Вывод |
|---|---|---|
| Прямая касается окружности | У прямой и окружности одна общая точка | Общая точка — точка касания |
| Радиус проведён в точку касания | Он соединяет центр с точкой касания | Радиус перпендикулярен касательной |
| Радиус перпендикулярен прямой в точке окружности | Прямая проходит через точку окружности | Прямая является касательной |
| Из одной внешней точки проведены две касательные | Обе касательные начинаются в этой точке | Отрезки до точек касания равны |
В таблице можно двигаться от условия к выводу: например, прямой угол между радиусом и прямой позволяет установить, что прямая касается окружности. Если в задаче уже сказано, что прямая — касательная, используй свойство перпендикулярности. Для равенства отрезков обязательно проверь, что обе касательные проведены из одной внешней точки.
Задача 1. Из центра окружности радиуса 5 см к прямой проведён перпендикуляр длиной 5 см. Касается ли прямая окружности? Нужно сравнить расстояние от центра до прямой с радиусом. Если они равны, основание перпендикуляра лежит на окружности, и можно применить обратное утверждение.
Ответ: да, прямая касается окружности.
Задача 2. Радиус окружности равен 6 см, а расстояние от её центра до прямой — 6 см. Найти длину отрезка касательной от точки касания до основания перпендикуляра, опущенного из центра. Равенство расстояния и радиуса означает, что основание перпендикуляра уже лежит на окружности и является точкой касания. Значит, обе названные в задаче точки совпадают.
Ответ: 0 см.
Задача 3. Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Если AB = 3x − 2, AC = x + 6, найти x и длины касательных. Обе касательные проведены из одной внешней точки, поэтому их отрезки равны. Составим уравнение, приравняв выражения для этих отрезков.
Ответ: x = 4; AB = AC = 10.
Считать касательной прямую с двумя общими точками с окружностью. Такую прямую часто путают с касательной, потому что обе пересекают окружность. Проверь число общих точек: у касательной она только одна, а у пересекающей окружность прямой — две.
Проводить перпендикулярность радиуса к касательной в произвольном месте. Ученик может решить, что любой радиус, соединённый с точкой прямой, образует прямой угол. Свойство относится только к радиусу, проведённому именно в точку касания. Для проверки назови эту точку и убедись, что радиус заканчивается в ней.
Применять обратное утверждение, не проверив положение основания перпендикуляра. Сам по себе перпендикуляр ещё не доказывает касание: он должен быть проведён к прямой в точке окружности. Убедись, что основание перпендикуляра находится на окружности и расстояние от центра до прямой равно радиусу.
Считать равными любые касательные к одной окружности. Равенство отрезков доказывается для касательных, выходящих из одной внешней точки, а не для любых точек окружности. Перед применением свойства отметь, откуда проведены обе касательные, и проверь, что их начальная точка одна и та же.
Для работы с касательной нужно знать, что такое окружность, её центр и радиус, а также понимать, когда прямые перпендикулярны. Перпендикулярность радиуса создаёт прямоугольный треугольник, поэтому пригодятся его свойства и теорема Пифагора. Эти знания помогают решать задачи на углы и длины. Равенство отрезков касательных из одной точки используется в дальнейших задачах об окружностях и при геометрических построениях.
Сколько общих точек у касательной и окружности?
У касательной и окружности ровно одна общая точка. Она называется точкой касания.
Почему радиус перпендикулярен касательной в точке касания?
Если бы радиус не был перпендикулярен касательной, расстояние от центра до прямой было бы меньше радиуса. Тогда прямая прошла бы внутри окружности и пересекла её в двух точках, а не касалась в одной.
Как доказать, что данная прямая является касательной?
Нужно показать, что прямая перпендикулярна радиусу, проведённому к точке окружности, через которую она проходит. Тогда по обратному утверждению эта прямая касается окружности именно в этой точке.
Всегда ли две касательные к одной окружности равны?
Нет. Равны отрезки касательных, проведённых из одной и той же внешней точки. Если точки, из которых проведены касательные, разные, равенство не гарантируется.
От какой точки измеряют длину отрезка касательной?
Отрезок касательной измеряют от внешней точки, из которой проведена касательная, до точки касания. Его длина не включает продолжение прямой за точку касания.
§ 1. Касательная к окружности
