67. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°

Определения и обозначения

Синус острого угла α в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = противолежащий катет / гипотенуза. Противолежащим называют катет напротив выбранного угла, а гипотенуза лежит напротив прямого угла. Синус помогает узнать, какую долю гипотенузы составляет катет напротив α, и находить сторону, если известен угол.

Косинус острого угла α — отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Прилежащий катет образует угол α вместе с гипотенузой, но сам не является гипотенузой. Обозначение cos α читают «косинус альфа», а это отношение позволяет связать угол с катетом, который находится рядом с ним.

Тангенс острого угла α — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg α = противолежащий катет / прилежащий катет. Его обозначают tg α и читают «тангенс альфа». В отличие от синуса и косинуса, тангенс сравнивает два катета, поэтому он удобен, когда нужно выразить один катет через другой.

Как это устроено

Чтобы найти отношения сторон для углов 30° и 60°, удобно начать с равностороннего треугольника: все его стороны равны, а все углы составляют 60°. Проведённая из вершины высота образует прямой угол и делит противоположную сторону пополам. Получаются два прямоугольных треугольника, в которых один острый угол равен 30°, а другой — 60°. Так свойства одного простого треугольника дают сразу два набора отношений сторон.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна 2. Тогда половина основания, ставшая катетом, равна 1, а гипотенуза маленького треугольника равна 2. Высота — второй катет; по теореме Пифагора её длина равна √(2² − 1²) = √3. Для угла 30° противолежащий катет равен 1, поэтому sin 30° = 1/2, а прилежащий равен √3, поэтому cos 30° = √3/2. Для угла 60° роли катетов меняются: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2.

Угол 45° возникает в равнобедренном прямоугольном треугольнике: два острых угла в нём равны, а вместе составляют 90°, значит, каждый равен 45°. Если взять катеты длиной 1, то по теореме Пифагора гипотенуза равна √(1² + 1²) = √2. Для каждого из углов противолежащий и прилежащий катеты равны 1. Поэтому синус и косинус равны отношению 1 к √2, то есть √2/2 после избавления от корня в знаменателе.

Тангенс можно получить, разделив синус на косинус одного и того же угла, потому что в отношениях сокращается гипотенуза. Для 30° выходит (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3, а для 60° — (√3/2)/(1/2) = √3. Эти два значения взаимно обратны: один катет в маленьком треугольнике равен 1, другой — √3, и при смене угла они меняются местами. Для 45° отношение равных катетов равно 1.

Углы 30° и 60° в прямоугольном треугольнике дополняют друг друга до 90°. Катет, который лежит напротив первого угла, прилегает ко второму, поэтому синус одного угла равен косинусу другого. Так объясняется обмен значениями: sin 30° = cos 60°, а cos 30° = sin 60°. У угла 45° дополнение — тоже 45°, поэтому синус и косинус совпадают.

Значения синуса, косинуса и тангенса

Найдите в таблице строку с нужным углом, а затем выберите столбец с нужной функцией. Значения точные: например, √3/2 — не приближённое измерение, а точное число. Тангенс можно дополнительно проверить, разделив значение синуса на значение косинуса в той же строке.

Разбор задач

Задача 1. Найдите sin 30°, cos 45° и tg 60°. Каждое значение уже получено из отношений сторон специальных прямоугольных треугольников. Важно выбрать в таблице и нужную строку угла, и нужный столбец функции. Затем запишем значения в том же порядке, что и выражения в условии.

1. В строке 30° и столбце sin находим ½.
2. В строке 45° и столбце cos находим √2/2.
3. В строке 60° и столбце tg находим √3.

Ответ: sin 30° = ½, cos 45° = √2/2, tg 60° = √3.

Задача 2. Вычислите sin 30° + cos 60° − tg 45°. Сначала заменим каждую функцию её табличным значением, не меняя порядок действий. Первые два слагаемых равны, а затем из их суммы вычтем тангенс 45°. Удобно выполнить сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем.

1. Подставим значения: ½ + ½ − 1.
2. Сложим дроби: ½ + ½ = 1.
3. Вычтем: 1 − 1 = 0.

Ответ: 0.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а один острый угол равен 30°. Найдите катеты. Сторона напротив угла 30° связана с гипотенузой через синус, а катет рядом с этим углом — через косинус. Поэтому сначала выберем нужное отношение для каждого катета. Полученные результаты должны быть меньше гипотенузы, что послужит простой проверкой.

1. Обозначим катет напротив 30° через a. По определению sin 30° = a/10, значит, a = 10 · ½ = 5 см.
2. Обозначим прилежащий к 30° катет через b. Из cos 30° = b/10 получаем b = 10 · √3/2 = 5√3 см.
3. Проверим по теореме Пифагора: 5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10².

Ответ: катеты равны 5 см и 5√3 см. Если известен именно угол 30°, важно не переставить катеты: напротив него находится меньший катет.

Типичные ошибки

Иногда противолежащий катет принимают за прилежащий или называют гипотенузой катет, который просто выглядит длиннее на чертеже. Такое случается, когда стороны определяют без привязки к выбранному углу. Перед записью отношения отметьте угол α: напротив него лежит противолежащий катет, рядом с ним — прилежащий, а напротив прямого угла — гипотенуза. Проверка: в синусе и косинусе в знаменателе должна быть именно гипотенуза.

Можно перепутать sin 30° и cos 30°, записав для обоих значений одно и то же. Причина в том, что при работе с углом легко забыть, какой катет находится напротив него. Сопоставьте 30° и 60°: sin 30° = cos 60° = ½, а cos 30° = sin 60° = √3/2. Для угла 30° противолежащий катет короче, поэтому его отношение к гипотенузе равно ½.

Для угла 45° иногда пишут sin 45° = ½ или cos 45° = ½. Так ошибаются, перенося значение синуса 30° и не учитывая, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на √2. Оба катета одинаковы, поэтому синус и косинус 45° равны √2/2. Проверить ответ можно по теореме Пифагора: квадрат каждого отношения равен ½, а сумма квадратов синуса и косинуса равна 1.

Ещё одна ошибка — поменять местами tg 30° и tg 60°: написать для первого √3, а для второго √3/3. Это происходит, если не проверить порядок деления катетов. Рассчитайте тангенс как sin α / cos α: для 30° получится √3/3, для 60° — √3. Дополнительная проверка: эти два значения должны быть взаимно обратными, потому что катеты в треугольнике при переходе от одного угла к другому меняются ролями.

Связь с другими темами

Чтобы вывести точные значения, нужны определения синуса, косинуса и тангенса, теорема Пифагора и свойства равнобедренного треугольника. Без теоремы Пифагора нельзя найти высоту равностороннего треугольника, а без равенства его сторон не получится построить удобные отношения. Эти знания соединяют свойства фигур с вычислением отношений их сторон.

Табличные значения помогают решать прямоугольные треугольники: по известной гипотенузе и углу можно найти катеты, не измеряя их линейкой. В обратных задачах отношения сторон позволяют проверять, соответствует ли длина катета заданному углу. Значения используются и при вычислениях, где вместо чертежа достаточно точной подстановки.

Позднее синус, косинус и тангенс изучаются как тригонометрические функции, связанные уже не только с острыми углами прямоугольного треугольника. Табличные значения становятся опорными: на их основе удобнее вычислять выражения и решать задачи с углами. Поэтому полезно запомнить не только числа, но и способ получить их из сторон треугольника.

Что запомнить

• sin 30° = ½.
• cos 30° = √3/2.
• sin 45° = cos 45° = √2/2.
• tg 45° = 1.
• sin 60° = √3/2, а cos 60° = ½.
• tg 30° = √3/3, а tg 60° = √3.