66. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольн

Определения и обозначения

Синус острого угла прямоугольного треугольника — отношение противолежащего катета к гипотенузе; его обозначают sin α. Противолежащим называют катет, который находится напротив выбранного угла, а гипотенуза — сторона напротив прямого угла. Синус помогает связать этот угол с длинами катета и гипотенузы.

Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе; обозначение — cos α. Прилежащий катет образует выбранный острый угол вместе с гипотенузой. Косинус нужен, когда известны или требуется найти именно этот катет и гипотенузу.

Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему; обозначается tg α. В этой дроби гипотенузы нет: сравниваются два катета относительно выбранного угла. Тангенс удобен, когда в задаче рассматривают катеты и нужно установить, во сколько раз один из них длиннее другого.

Как это устроено

Почему отношения сторон не зависят от размера треугольника? Возьмём два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом α. У них равны прямой угол и угол α, поэтому равен и третий угол; значит, треугольники подобны. У подобных треугольников соответствующие стороны увеличиваются в одно и то же число раз, поэтому отношение двух соответствующих сторон остаётся неизменным.

Чтобы правильно выбрать стороны, сначала укажи угол, для которого ищешь отношение. Гипотенузу найти легко: она всегда лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной. Из двух катетов противолежащий не касается выбранного острого угла, а прилежащий образует этот угол вместе с гипотенузой. Для другого острого угла роли катетов поменяются.

Синус и косинус острого угла меньше единицы, потому что каждый катет короче гипотенузы. Значит, в отношениях катет / гипотенуза числитель меньше знаменателя. Тангенс устроен иначе: он сравнивает один катет с другим, а их длины могут быть разными. Если противолежащий катет короче прилежащего, тангенс меньше единицы; если длиннее — больше.

Тангенс можно выразить через синус и косинус: tg α = sin α / cos α. Действительно, если разделить отношение противолежащего катета к гипотенузе на отношение прилежащего катета к гипотенузе, гипотенузы сократятся. Останется отношение противолежащего катета к прилежащему — это и есть тангенс. Такая связь позволяет вычислить тангенс, если известны синус и косинус.

Чтобы найти сторону, выбирай отношение, в котором эта сторона связана с известными сторонами. Например, если известны гипотенуза и угол, а требуется противолежащий катет, подходит синус; если требуется прилежащий — косинус. Когда известны оба катета или нужен один из них относительно другого, удобно использовать тангенс. Для проверки равенства углов можно сравнить соответствующие отношения сторон: у прямоугольных треугольников одинаковое значение одного и того же отношения означает одинаковый острый угол.

Тригонометрические отношения острого угла прямоугольного треугольника

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала выбери угол и назови относительно него оба катета. Затем найди в строке нужное название и составь отношение сторон в указанном порядке. Не меняй местами числитель и знаменатель: от этого значение изменится.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4, гипотенуза равна 5. Нужно найти синус и косинус угла, противолежащего катету длиной 3. Здесь уже известны все стороны, поэтому достаточно правильно выбрать катеты относительно указанного угла.

1. Противолежащий катет равен 3, а второй катет, прилежащий к выбранному углу, равен 4. Гипотенуза равна 5.
2. По определению sin α = противолежащий катет / гипотенуза, значит, sin α = 3 / 5 = 0,6.
3. Для косинуса берём прилежащий катет: cos α = 4 / 5 = 0,8. Ответ: sin α = 0,6; cos α = 0,8.

Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а sin α = 0,6. Требуется найти катет, противолежащий углу α. Так как синус связывает именно этот катет с гипотенузой, его определение сразу даёт нужное уравнение.

1. Обозначим противолежащий катет буквой x. По определению синуса получаем sin α = x / 10.
2. Подставим известное значение: 0,6 = x / 10. Умножим обе части равенства на 10, чтобы выразить x.
3. Получаем x = 0,6 · 10 = 6. Ответ: противолежащий катет равен 6.

Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Нужно найти тангенс каждого острого угла и объяснить, почему значения различаются. Для тангенса важно, какой катет противолежит углу, поэтому рассмотрим углы по очереди.

1. Для угла, противолежащего катету 6, прилежащий катет равен 8. Значит, tg α = 6 / 8 = 0,75.
2. Для второго острого угла противолежащим становится катет 8, а прилежащим — катет 6. Поэтому tg β = 8 / 6 = 4 / 3.
3. Значения различаются, потому что при переходе к другому углу катеты меняются ролями, а отношения 6 / 8 и 8 / 6 не равны. Ответ: тангенсы равны 0,75 и 4 / 3.

Типичные ошибки

Иногда катеты называют противолежащим и прилежащим, не указав, относительно какого угла их рассматривают. Из-за этого можно взять нужные стороны для одного угла, а формулу записать для другого. Перед вычислением отметь выбранный угол и проверь: противолежащий катет не касается его, а прилежащий касается.

В синусе или косинусе иногда ставят катет в знаменатель, а гипотенузу — в числитель. Так делают, если забывают порядок сторон в определении. Самопроверка простая: и для синуса, и для косинуса знаменателем должна быть гипотенуза; оба значения острого угла меньше единицы.

Тангенс могут ошибочно записать как отношение катета к гипотенузе, смешав его с синусом или косинусом. Причина — привычка связывать все три отношения с гипотенузой. Проверь состав сторон: тангенс сравнивает два катета, а гипотенуза в его формуле не участвует.

Ещё одна ошибка — считать, что при увеличении сторон треугольника меняются значения синуса, косинуса и тангенса. Длины действительно становятся больше, но у подобных треугольников все соответствующие стороны изменяются в одинаковое число раз. Составь отношение до и после увеличения: общий множитель сократится, и значение останется прежним.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое прямоугольный треугольник, гипотенуза и катеты. Также полезно уметь определять подобные треугольники: именно подобие объясняет, почему отношения сторон для одинакового угла совпадают. Если стороны пока трудно различать, начни с обозначения прямого угла и выбранного острого угла.

Синус, косинус и тангенс применяют в задачах на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника. По мере изучения геометрии эти отношения помогут решать более сложные задачи, а позднее станут основой тригонометрических функций. Тригонометрия используется не только в геометрии, но и в физике.

Что запомнить

• Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Выбор катетов зависит от того, относительно какого угла рассматривают треугольник.
• Для одинакового острого угла отношения сторон у подобных прямоугольных треугольников одинаковы.
• Для острого угла tg α = sin α / cos α.