§ 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого равен 90°. Два других угла называют острыми, потому что каждый из них меньше 90°. Такое название сразу подсказывает, что при решении задач нужно искать прямой угол и учитывать два оставшихся угла.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. Катеты — две стороны, образующие этот угол. Гипотенуза всегда самая длинная сторона треугольника, а знание её положения помогает правильно выбрать стороны в формулах.

Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = a/c. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = b/c. Эти отношения позволяют находить катет, если известны угол и гипотенуза.

Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg α = a/b. Котангенс — обратное отношение: ctg α = b/a. Они удобны, когда известны оба катета или один катет и угол.

Как это устроено

Названия «противолежащий» и «прилежащий» зависят от выбранного острого угла. Если рассматривать другой острый угол, катеты поменяются ролями: бывший противолежащий станет прилежащим, и наоборот. Гипотенуза не меняется, потому что её положение определяется прямым углом, а не выбором острого угла.

Почему у треугольников с одинаковым острым углом совпадают отношения соответствующих сторон? У них равны прямые углы и ещё по одному острому углу, значит, треугольники подобны по двум углам. В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны, поэтому, например, отношение катета к гипотенузе остаётся одним и тем же даже при увеличении всего треугольника.

Рассмотрим один выбранный угол α. Отношение противолежащего катета к гипотенузе называют синусом α, а отношение прилежащего катета к гипотенузе — косинусом α. Если разделить первое отношение на второе, гипотенуза сократится: (a/c) : (b/c) = a/b, поэтому tg α = sin α / cos α.

Аналогично, если разделить косинус на синус, получится b/a. Это и есть котангенс, поэтому ctg α = cos α / sin α. Для углов 30°, 45° и 60° значения получают из известных прямоугольных треугольников: половины равностороннего треугольника и равнобедренного прямоугольного треугольника.

Соотношения сторон прямоугольного треугольника и значения для особых углов

Чтобы пользоваться таблицей, сначала выберите острый угол и определите, какой катет находится напротив него, а какой прилегает к нему. Затем найдите нужную строку и столбец с градусной мерой угла. Если угол другой, применяйте определение отношения или ищите значение с помощью дополнительных вычислений.

Для одного и того же угла значения tg и ctg являются взаимно обратными. Поэтому их произведение равно 1: tg α · ctg α = 1.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8, гипотенуза равна 10. Найдём все отношения для каждого острого угла. Обозначим катетами a = 6 и b = 8.

1. Для угла, против которого лежит катет 6, прилежащий катет равен 8: sin α = 6/10 = 3/5, cos α = 8/10 = 4/5, tg α = 6/8 = 3/4, ctg α = 8/6 = 4/3.
2. Для второго острого угла роли катетов меняются: sin β = 8/10 = 4/5, cos β = 6/10 = 3/5, tg β = 8/6 = 4/3, ctg β = 6/8 = 3/4.

Ответ: для первого угла 3/5, 4/5, 3/4, 4/3; для второго — 4/5, 3/5, 4/3, 3/4 соответственно.

Задача 2. Гипотенуза равна 12, один острый угол равен 30°. Противолежащий катет найдём через синус, а прилежащий — через косинус. Так мы сразу учитываем, какой именно катет соответствует выбранному углу.

1. Противолежащий катет: a = 12 · sin 30° = 12 · ½ = 6.
2. Прилежащий катет: b = 12 · cos 30° = 12 · √3/2 = 6√3.
3. Проверка: 6² + (6√3)² = 36 + 108 = 144 = 12².

Ответ: катеты равны 6 и 6√3.

Задача 3. Один катет равен 7, а прилежащий к нему острый угол равен 60°. Значит, данный катет прилежащий, а второй катет — противолежащий. Обозначим гипотенузу c, а второй катет a.

1. По косинусу: cos 60° = 7/c, поэтому c = 7/(½) = 14.
2. По тангенсу: tg 60° = a/7, поэтому a = 7√3.
3. Проверка по теореме Пифагора: 7² + (7√3)² = 49 + 147 = 196 = 14².

Ответ: гипотенуза равна 14, второй катет — 7√3.

Типичные ошибки

Путают катеты. Противолежащий и прилежащий катеты определяются только относительно выбранного острого угла. Чтобы не ошибиться, проведите мысленно линию напротив угла и отдельно отметьте сторону, которая образует его с гипотенузой.

Ставят катет вместо гипотенузы. В формулах синуса и косинуса гипотенуза всегда стоит в знаменателе, потому что это отношение катета к гипотенузе. Проверьте себя: гипотенуза должна лежать напротив 90° и быть самой длинной стороной.

Считают отношения зависящими от размера. У подобных треугольников стороны могут быть разной длины, но увеличиваются в одинаковое число раз. Если получились разные значения для одинакового угла, перепроверьте соответствующие стороны и вычисления.

Путают тангенс и котангенс. В тангенсе первым стоит противолежащий катет, а в котангенсе — прилежащий. Перемножьте найденные значения: для одного угла правильные tg и ctg дадут 1.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны теорема Пифагора и умение находить стороны прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора можно проверять ответы, найденные через тригонометрические отношения.

Подобие треугольников объясняет, почему отношения сторон определяются углом, а не размерами фигуры. Без этого свойства невозможно было бы составить единую таблицу значений для каждого острого угла.

Соотношения применяются при вычислении сторон и углов, а позднее станут основой тригонометрии. Они также нужны в практических измерениях высоты, расстояния и наклона.

Что запомнить

• Гипотенуза лежит напротив прямого угла; катеты образуют прямой угол.
• Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
• Котангенс равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
• Для одного острого угла тангенс и котангенс — взаимно обратные отношения.
• Значения тригонометрических отношений зависят от угла, а не от размеров треугольника.