§ 16. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Определения и обозначения

Острый угол прямоугольного треугольника — угол, относительно которого выделяют противолежащий катет, прилежащий катет и гипотенузу. Противолежащий катет расположен напротив выбранного угла, а прилежащий образует его вместе с гипотенузой. Это различие нужно, чтобы верно составлять отношения сторон: при выборе другого острого угла катеты меняются ролями.

Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе; его обозначают sin α. Например, если противолежащий катет равен 3, а гипотенуза — 5, то sin α = 3/5. Синус помогает сопоставить угол с тем, насколько велик катет напротив него по сравнению с самой длинной стороной.

Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе; его обозначают cos α. Если прилежащий катет равен 4, а гипотенуза — 5, то cos α = 4/5. Это отношение удобно применять, когда известны угол и сторона, образующая угол вместе с гипотенузой.

Тангенс и котангенс острого угла — отношения противолежащего катета к прилежащему и прилежащего к противолежащему соответственно; их обозначают tg α и ctg α. В этих отношениях гипотенуза не участвует, поэтому они напрямую сравнивают два катета. Тангенс показывает, во сколько раз противолежащий катет больше или меньше прилежащего, а котангенс описывает обратное сравнение.

Как это устроено

Представь два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом α. Они подобны: у обоих есть прямой угол, а второй острый угол также одинаков, потому что сумма углов треугольника равна 180°. У подобных треугольников отношения соответствующих сторон равны, поэтому sin α, cos α, tg α и ctg α будут одинаковыми. Значит, значение отношения задаётся углом, а не размером треугольника.

По определениям sin α = a/c, cos α = b/c, где a — противолежащий катет, b — прилежащий, c — гипотенуза. Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, поэтому a < c и b < c. Длины сторон положительны, следовательно, оба отношения положительны, а из того, что числитель меньше знаменателя, следует sin α < 1 и cos α < 1. Поэтому для острого угла 0 < sin α < 1 и 0 < cos α < 1.

Тангенс равен a/b, а синус, делённый на косинус, равен (a/c)/(b/c). Общий знаменатель c сокращается, и остаётся a/b, то есть tg α = sin α / cos α. Аналогично cos α / sin α = (b/c)/(a/c) = b/a, поэтому ctg α = cos α / sin α. Так можно получить отношение катетов через синус и косинус, даже если стороны треугольника отдельно неизвестны.

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому второй угол после α равен 90° − α. Катет, который лежит напротив α, для второго угла становится прилежащим, а гипотенуза остаётся той же. Значит, отношение этого катета к гипотенузе можно записать и как sin α, и как cos(90° − α): sin α = cos(90° − α). По той же смене ролей катетов отношение противолежащего к прилежащему для одного угла становится отношением прилежащего к противолежащему для другого, откуда tg α = ctg(90° − α).

Если известен угол и одна сторона, сначала выбирают формулу, где участвуют известная и искомая стороны, а затем выражают неизвестную. Например, при известном прилежащем катете и угле можно использовать tg α = противолежащий / прилежащий. Если известны стороны, их подставляют в нужные определения: так получают синус, косинус, тангенс или котангенс. Теорема Пифагора помогает найти недостающую сторону, а для определения самого угла по отношению сторон используют таблицу или калькулятор.

Тригонометрические отношения острого угла прямоугольного треугольника

Сначала выбери строку с нужным отношением и определи стороны относительно заданного угла. Если в условии есть другое отношение или угол 90° − α, воспользуйся третьим столбцом. Деление записывай именно в указанном порядке: перестановка катетов меняет тангенс на котангенс.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13, а катет, противолежащий углу α, равен 5. Найдите sin α и cos α. Сначала найдём недостающий катет, потому что косинус требует прилежащую сторону, а она пока неизвестна.

1. По теореме Пифагора второй катет равен √(13² − 5²) = √144 = 12.
2. Для выбранного угла катет 12 прилежащий, а катет 5 — противолежащий.
3. sin α = 5/13, так как синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе. cos α = 12/13, так как косинус использует прилежащий катет.

Ответ: sin α = 5/13, cos α = 12/13. Проверка: оба результата положительны и меньше единицы, как и должно быть для синуса и косинуса острого угла.

Задача 2. Катет, прилежащий к углу α, равен 8, а tg α = 3/4. Найдите противолежащий катет и гипотенузу. Тангенс сравнивает именно два катета, поэтому с его помощью можно сразу найти неизвестный катет, не зная гипотенузы.

1. По определению tg α = противолежащий / прилежащий. Обозначим противолежащий катет через x: 3/4 = x/8.
2. Отсюда x = 8 · 3/4 = 6. Противолежащий катет равен 6.
3. Гипотенуза c находится по теореме Пифагора: c = √(6² + 8²) = √100 = 10.

Ответ: противолежащий катет равен 6, гипотенуза — 10. Проверка по определению: 6/8 = 3/4, что совпадает с данным тангенсом.

Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс каждого острого угла. Сначала вычислим гипотенузу, затем для каждого угла отдельно назначим противолежащий и прилежащий катеты: эти роли у катетов меняются.

1. По теореме Пифагора гипотенуза равна √(7² + 24²) = √625 = 25.
2. Для угла напротив катета 7: sin α = 7/25, cos α = 24/25, tg α = 7/24, ctg α = 24/7.
3. Для угла напротив катета 24: sin β = 24/25, cos β = 7/25, tg β = 24/7, ctg β = 7/24.

Ответ: для угла напротив 7 отношения равны 7/25, 24/25, 7/24 и 24/7; для угла напротив 24 — 24/25, 7/25, 24/7 и 7/24 соответственно. Здесь видно, что синус одного угла равен косинусу другого, а тангенс — котангенсу другого.

Типичные ошибки

Катеты путают, ориентируясь на их длину или расположение на листе. Но прилежащий и противолежащий — не постоянные названия сторон: они зависят от выбранного угла. Перед вычислением отметь угол и проверь, какой катет его образует, а какой расположен напротив.

Иногда синус записывают как отношение прилежащего катета к гипотенузе, потому что выбирают катет, который виден рядом с углом. Это определение косинуса, а не синуса. Проверь себя вопросом: какая сторона лежит напротив угла? Именно её нужно поставить в числитель синуса.

Ещё одна ошибка — записать tg α = sin α / sin(90° − α). Знаменатель здесь не синус дополнительного угла: поскольку sin(90° − α) = cos α, правильная формула имеет вид tg α = sin α / cos α. Для самопроверки можно подставить отношения через стороны и убедиться, что получится противолежащий катет, делённый на прилежащий.

Формулы этого параграфа применяют к острым углам прямоугольного треугольника, но иногда их пытаются использовать для прямого или тупого угла. Здесь определения построены на двух катетах и гипотенузе относительно острого угла, поэтому такой перенос не подходит. Сначала проверь, что рассматриваемый угол действительно острый и принадлежит прямоугольному треугольнику.

Связь с другими темами

Для вычислений пригодится теорема Пифагора: с её помощью находят неизвестную сторону прямоугольного треугольника. Подобие объясняет, почему отношения сторон одинаковы у треугольников с одним и тем же острым углом, даже если их размеры различаются. Также полезны свойства прямоугольного треугольника, в частности то, что сумма острых углов равна 90°.

Тригонометрические отношения применяют в задачах на нахождение сторон и углов, а позже они становятся основой изучения тригонометрических функций. В геометрических измерениях отношения позволяют вычислять недоступные длины по измеренным углам и известным сторонам. Поэтому важно не только запомнить формулы, но и научиться выбирать подходящую по данным задачи.

Что запомнить

• sin α — противолежащий катет, делённый на гипотенузу.
• cos α — прилежащий катет, делённый на гипотенузу.
• tg α — противолежащий катет, делённый на прилежащий.
• ctg α — прилежащий катет, делённый на противолежащий.
• tg α = sin α / cos α; ctg α = cos α / sin α.
• sin α = cos(90° − α), а tg α = ctg(90° − α).