§ 15. Изменение тригонометрических функций при изменении величины угла от 0 до π

Определения и обозначения

Синус угла x на единичной окружности — ордината точки, полученной поворотом радиуса на угол x. Ордината показывает, насколько высоко расположена точка; при x = 0 и x = π она равна 0, а при x = π/2 равна 1. По синусу можно судить о вертикальном положении точки и о том, как оно меняется при повороте.

Косинус угла x — абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Абсцисса показывает её положение слева или справа от вертикального диаметра: справа косинус положителен, слева отрицателен, а на самом диаметре равен нулю. На отрезке [0; π] точка пересекает этот диаметр при x = π/2.

Тангенс угла — отношение синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x. Такое отношение связывает вертикальное и горизонтальное смещения точки, но его нельзя найти, если косинус равен нулю. Поэтому при x = π/2 тангенс не определён.

Котангенс угла — отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x. Он показывает обратное соотношение между горизонтальным и вертикальным смещениями. Когда синус равен нулю, деление невозможно, поэтому на рассматриваемом отрезке котангенс не определён при x = 0 и x = π.

Как это устроено

Если угол последовательно увеличивать от 0 до π, радиус проходит верхнюю полуокружность от точки (1; 0) до (−1; 0). По мере движения абсцисса точки непрерывно уменьшается: сначала она положительна, в середине равна нулю, а затем становится отрицательной. Ордината сначала растёт от 0 до 1, потому что точка поднимается, а после вершины убывает до 0. Эти изменения координат и задают поведение косинуса и синуса.

Внутри верхней полуокружности точка расположена выше горизонтального диаметра, значит, её ордината положительна и sin x > 0 при 0 < x < π. До π/2 точка находится справа от вертикального диаметра, а после π/2 — слева. Поэтому cos x положителен при 0 ≤ x < π/2, равен нулю при π/2 и отрицателен при π/2 < x ≤ π. Знак каждой функции определяется соответствующей координатой, а не положением другой координаты.

Так как ордината сначала увеличивается, а затем уменьшается, синус возрастает на [0; π/2] и убывает на [π/2; π]. Его наибольшее значение 1 достигается в вершине полуокружности. Абсцисса всё время движется слева направо? Нет: при движении от (1; 0) к (−1; 0) она уменьшается, поэтому косинус убывает на всём [0; π]. Это видно и по значениям на концах: от 1 до −1.

Тангенс — отношение sin x к cos x. На первой части отрезка синус растёт, а положительный косинус убывает к нулю, поэтому отношение увеличивается от 0 без верхней границы. После π/2 синус убывает, а косинус отрицателен и по модулю увеличивается от нуля, так что тангенс растёт от больших отрицательных значений к 0. В самой точке π/2 знаменатель равен нулю, и функция имеет разрыв.

Котангенс — отношение cos x к sin x, причём внутри (0; π) синус положителен. В первой половине отрезка косинус убывает от 1 до 0, а во второй продолжает убывать от 0 до −1; деление на положительный синус даёт убывающий котангенс. При приближении к 0 его значения неограниченно растут, а при приближении к π становятся неограниченно отрицательными. На концах знаменатель равен нулю, поэтому значения там отсутствуют.

Изменение тригонометрических функций при 0 ≤ x ≤ π

Сначала проверьте область определения: в точке, где функция не определена, значение подставлять нельзя. Затем найдите строку с нужным свойством — например, промежутком монотонности или значениями на концах. Для тангенса учитывайте, что его область на отрезке распадается на две части.

Разбор задач

Сравнить sin(π/6) и sin(π/3), не вычисляя значения функций

Нужно решить, какой синус больше, не подставляя специальные значения. Оба угла принадлежат промежутку от 0 до π/2, где синус возрастает. Значит, большему углу соответствует больший синус.

1. Сравним аргументы: π/6 < π/3, потому что при одинаковом положительном числителе дробь с большим знаменателем меньше.
2. На [0; π/2] функция sin x возрастает, поэтому порядок значений синуса совпадает с порядком углов.
3. Следовательно, sin(π/6) < sin(π/3); вычислять значения не требуется.

Ответ: sin(π/6) < sin(π/3). Здесь решающим оказалось попадание обоих углов в промежуток возрастания синуса. Если бы углы лежали по разные стороны от π/2, сравнить их только по величине было бы нельзя.

Определить, где находится угол x, если π/2 < x < π и cos x = −1/2

Угол уже ограничен второй половиной промежутка [0; π], где косинус убывает от 0 до −1. Требуется установить его положение по значению косинуса. Можно воспользоваться известным углом с таким косинусом, а затем проверить, что он удовлетворяет условию.

1. На (π/2; π) функция cos x убывает, поэтому значению −1/2 соответствует не более одного угла.
2. Из известных значений cos(2π/3) = −1/2. При этом π/2 < 2π/3 < π, значит, найденный угол лежит в заданном промежутке.
3. Следовательно, x = 2π/3. Убывание косинуса подтверждает единственность ответа.

Ответ: x = 2π/3. Значение −1/2 находится между 0 и −1, поэтому точка с такой абсциссой расположена на второй четверти верхней полуокружности. Проверка границ не позволяет ошибочно выбрать угол из другого промежутка.

Решить неравенство tg x > 1 при 0 ≤ x ≤ π

Тангенс не определён при π/2, поэтому сначала разделим область на части. На [0; π/2) он возрастает от 0, а на (π/2; π] — от неограниченно больших отрицательных значений до 0. Уровень 1 достигается при x = π/4 на первой части; на второй тангенс неположителен и условию не подходит.

1. Разделим заданный отрезок точкой разрыва: рассмотрим [0; π/2) и (π/2; π] отдельно.
2. На первой части tg x возрастает, а tg(π/4) = 1. Поэтому tg x > 1 при π/4 < x < π/2; саму точку π/2 исключаем.
3. На второй части tg x ≤ 0, так как sin x положителен, а cos x отрицателен. Следовательно, там решений не будет.

Ответ: x ∈ (π/4; π/2). При строгом знаке неравенства точку π/4, где тангенс равен 1, не включаем. Точку π/2 также исключаем, поскольку функция в ней не определена.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что синус возрастает на всём [0; π]. Так думают, потому что синус положителен на внутренней части отрезка и легко принять положительность за возрастание. Но после вершины полуокружности ордината уменьшается, поэтому синус убывает на [π/2; π]. Проверка: сравните значения в точках π/2 и π — они равны 1 и 0.

Ошибка: считать тангенс или котангенс определённым в точке, где знаменатель равен нулю. При вычислении дроби можно забыть, что делить на ноль нельзя: для tg x знаменатель cos x, для ctg x — sin x. Проверяйте именно знаменатель: тангенс не определён при π/2, котангенс — при 0 и π.

Ошибка: переносить возрастание тангенса через π/2 и объявлять его возрастающим на всём отрезке. Возрастание действительно видно на каждой отдельной ветви, но между ними функция не определена и значения по разные стороны разрыва резко различаются. Разбивайте область определения в точке π/2 и решайте задачу на каждом промежутке отдельно.

Ошибка: считать косинус положительным во второй четверти, перепутав его знак со знаком синуса. Там точка находится выше горизонтального диаметра, но левее вертикального, поэтому синус положителен, а косинус отрицателен. Проверяйте знак по нужной координате: вертикальная отвечает за синус, горизонтальная — за косинус.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться в изменении функций, нужны представления о единичной окружности и радианной мере угла, а также определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. На окружности каждое значение синуса и косинуса связано с координатой точки, поэтому геометрическая картина объясняет знаки и изменение величин. Умение определять промежутки возрастания и убывания затем используют при сравнении тригонометрических выражений и решении уравнений и неравенств. Эти же свойства помогают читать и строить графики тригонометрических функций.

Что запомнить

• На отрезке [0; π] синус неотрицателен и равен нулю только на концах.
• Синус возрастает на [0; π/2], затем убывает на [π/2; π].
• Косинус убывает на всём отрезке [0; π] от 1 до −1.
• Тангенс не определён при π/2 и возрастает на каждом из промежутков по разные стороны от этой точки.
• Котангенс не определён при 0 и π и убывает на (0; π).
• При π/2 синус равен 1, косинус равен 0, тангенс не определён, котангенс равен 0.