§ 14. Тригонометрические функции углов

Определения и обозначения

Синус острого угла α — отношение противолежащего катета прямоугольного треугольника к гипотенузе: sin α = противолежащий катет / гипотенуза. Для углов от 0° до 180° синус задают так: для тупого угла α берут дополняющий острый угол 180° − α и полагают sin α = sin(180° − α), а на концах промежутка sin 0° = 0 и sin 180° = 0. Это позволяет пользоваться синусом не только при работе с острыми углами.

Косинус острого угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Для тупого угла cos α = −cos(180° − α), а cos 90° = 0. Значит, на промежутке от 0° до 90° косинус положителен, при 90° равен нулю, а после 90° отрицателен.

Тангенс угла — отношение его синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α; для острого угла это также отношение противолежащего катета к прилежащему. Тангенс существует только тогда, когда cos α ≠ 0. Среди углов от 0° до 180° он не определён при 90°.

Котангенс угла — отношение его косинуса к синусу: ctg α = cos α / sin α; для острого угла это отношение прилежащего катета к противолежащему. Котангенс существует только при sin α ≠ 0. Поэтому в рассматриваемом промежутке он не определён при 0° и 180°.

Как это устроено

Пусть в прямоугольных треугольниках один и тот же острый угол α. Такие треугольники подобны: у них равны углы, а соответствующие стороны пропорциональны. Если все стороны увеличить в одно и то же число раз, числитель и знаменатель отношения увеличатся одинаково, поэтому отношение не изменится. Именно поэтому синус и косинус зависят от угла, а не от размеров выбранного треугольника.

Определения через катеты сразу работают для острых углов, но тупой угол не может быть острым углом прямоугольного треугольника. Чтобы продолжить определение, сравнивают тупой угол α с острым углом β = 180° − α. Значения синуса у них одинаковы, а косинусы противоположны: sin α = sin β и cos α = −cos β. Поэтому для 90° < α < 180° синус положителен, а косинус отрицателен; при 90° синус равен 1, косинус — 0.

Для острого угла отношения катетов к гипотенузе дают tg α = (противолежащий катет / гипотенуза) / (прилежащий катет / гипотенуза) = противолежащий катет / прилежащий катет. Так получается tg α = sin α / cos α; деление возможно, только если cos α ≠ 0. Аналогично ctg α = cos α / sin α, поэтому необходимо sin α ≠ 0. Отсюда следуют ограничения: tg 90° не существует, а ctg 0° и ctg 180° не существует.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Разделим обе части этого равенства на квадрат гипотенузы: получим сумму квадратов отношений катетов к гипотенузе. Эти отношения — синус и косинус, значит, sin² α + cos² α = 1. Если известен синус, то cos α = ±√(1 − sin² α), а если известен косинус, то sin α = ±√(1 − cos² α); знак выбирают с учётом угла.

Значения для 30° и 60° находят из прямоугольного треугольника с углами 30°, 60° и 90°: катеты относятся как 1 : √3, гипотенуза — как 2. Для 45° используют равнобедренный прямоугольный треугольник: катеты равны, а гипотенуза в √2 раза больше катета. Углы 0° и 90° — граничные случаи: при 0° синус равен 0, косинус — 1, а при 90° синус равен 1, косинус — 0. Тангенс и котангенс затем получают делением синуса и косинуса.

Тригонометрические функции углов от 0° до 180°

В таблице значения в строке с углами расположены в том же порядке, что и перечисленные углы. Сначала определите, входит ли нужный угол в область определения функции, а затем проверьте знак и подставьте табличное значение. Знаки тангенса и котангенса следуют из знаков синуса и косинуса.

Разбор задач

Задача 1

В прямоугольном треугольнике противолежащий катет угла α равен 6, гипотенуза — 10. Найдём sin α и cos α. Сначала используем данные стороны для синуса, затем восстановим второй катет по теореме Пифагора. Так мы получим отношение, нужное для косинуса.

1. По определению sin α = 6/10 = 3/5.
2. Обозначим прилежащий катет через x. Тогда x² + 6² = 10², поэтому x² = 64 и x = 8.
3. cos α = 8/10 = 4/5.

Ответ: sin α = 3/5, cos α = 4/5. Катет берём положительным, потому что речь идёт о длине стороны. Полученные значения также согласуются с тождеством: (3/5)² + (4/5)² = 1.

Задача 2

Известно, что sin α = 3/5 и 90° < α < 180°. Найдём cos α, tg α и ctg α. Сначала используем основное тождество, а затем определим знак косинуса по промежутку, в котором находится угол. Это важно: одного возведения в квадрат достаточно для модуля косинуса, но не для его знака.

1. cos² α = 1 − sin² α = 1 − 9/25 = 16/25, значит, cos α = ±4/5.
2. Угол тупой, поэтому cos α < 0 и cos α = −4/5.
3. tg α = (3/5)/(−4/5) = −3/4.
4. ctg α = (−4/5)/(3/5) = −4/3.

Ответ: cos α = −4/5, tg α = −3/4, ctg α = −4/3. Оба отношения отрицательны, поскольку синус положителен, а косинус отрицателен. Такой знак служит дополнительной проверкой.

Задача 3

Вычислим 2 sin 30° + cos 60° − tg 45°. Здесь все углы есть в таблице, поэтому сначала заменим функции точными значениями. Затем выполним умножение и сложение дробей, не округляя их.

1. sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, tg 45° = 1.
2. Подставим значения: 2 · 1/2 + 1/2 − 1.
3. Выполним действия: 1 + 1/2 − 1 = 1/2.

Ответ: 1/2. Перед вычислениями полезно проверить, что все используемые функции определены. В этом примере тангенс 45° существует, потому что cos 45° ≠ 0.

Типичные ошибки

Путать синус и косинус — значит поменять местами два катета: синус использует противолежащий катет, косинус — прилежащий. Такую ошибку легко допустить, если не указать, относительно какого угла рассматриваются стороны. Перед записью отношения отметьте выбранный угол и определите, какой катет лежит напротив него, а какой образует его сторону.

При тупом угле иногда берут косинус положительным, потому что вспоминают только значение косинуса острого угла. Но для 90° < α < 180° косинус отрицателен, тогда как синус положителен. Проверьте промежуток и формулу cos α = −cos(180° − α), прежде чем выбирать знак.

Нельзя вычислять тангенс или котангенс, если знаменатель соответствующей дроби равен нулю. В tg α = sin α / cos α это происходит при 90°, а в ctg α = cos α / sin α — при 0° и 180°. Самопроверка проста: сначала найдите знаменатель и убедитесь, что он не равен нулю.

Запись sin² α означает квадрат значения синуса: sin² α = (sin α)². Её ошибочно читают как sin(α²), то есть будто сначала нужно возвести угол в квадрат. Помните, что показатель 2 относится к значению функции; это видно и в тождестве sin² α + cos² α = 1.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны отношения сторон прямоугольного треугольника, теорема Пифагора, а также понятия острого и тупого углов. Они помогают понять определения функций, находить неизвестные стороны и выбирать знак косинуса. Позже тригонометрические функции используют при решении прямоугольных и произвольных треугольников. Они также становятся основой для изучения тригонометрических уравнений и графиков функций.

Что запомнить

• Для острого угла синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Для острого угла косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0.
• ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0.
• sin² α + cos² α = 1.
• При 90° < α < 180° синус положителен, а косинус отрицателен.