§ 17. Решение прямоугольных треугольников

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого равен 90°. Две стороны, образующие прямой угол, называют катетами. Относительно выбранного острого угла один катет будет противолежащим, а другой — прилежащим; это различие нужно для правильного выбора формулы.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. В прямоугольном треугольнике она всегда длиннее каждого катета. По гипотенузе легко определить прямоугольный треугольник и применить теорему Пифагора.

Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = a⁄c. Противолежащий катет выбирают относительно угла α: это сторона, которая не образует его. Синус помогает найти этот катет или гипотенузу, если другая величина известна.

Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = b⁄c. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg α = a⁄b. Эти отношения позволяют связать известные стороны с неизвестными и определить угол.

Как это устроено

Решить прямоугольный треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы. Для этого достаточно знать два подходящих элемента, причём хотя бы один из них должен быть стороной. Например, по гипотенузе и острому углу можно найти оба катета, а по двум катетам — гипотенузу и углы.

У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны, поэтому отношения сторон одинаковы. Прямоугольные треугольники с одним равным острым углом подобны, а значит, их синус, косинус и тангенс имеют одинаковые значения. Поэтому каждое такое отношение зависит только от величины острого угла, а не от размера треугольника.

Связать известную сторону с неизвестной помогает выбор тригонометрического отношения. Если нужны противолежащий катет и гипотенуза, используют синус; для прилежащего катета и гипотенузы — косинус; для двух катетов — тангенс. Сначала отметьте выбранный угол и подпишите относительно него обе стороны, затем составьте подходящую формулу.

Неизвестный угол находят по известному отношению сторон с помощью обратных функций: например, α = arcsin x, α = arccos x или α = arctg x. Вместо них можно пользоваться таблицами значений или калькулятором в режиме градусов. Второй острый угол вычисляют проще: β = 90° − α, потому что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Если известны два катета, сначала находят гипотенузу по теореме Пифагора: c² = a² + b². Затем один из острых углов определяют, например, по формуле tg α = a⁄b, а второй получают вычитанием из 90°. В конце полезно проверить и длины по теореме Пифагора, и углы по их сумме.

Тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике

В таблице стороны названы относительно выбранного острого угла α. Перед подстановкой определите гипотенузу по прямому углу, а затем различите два катета. Выбирайте ту строку, где одновременно встречаются известная и искомая стороны.

Разбор задач

Гипотенуза и угол

Условие. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а один острый угол — 30°. Найдём катеты. Обозначим катет напротив угла 30° через a, а прилежащий катет — через b.

1. Для противолежащего катета используем синус: sin 30° = a⁄10, поэтому a = 10 · ½ = 5 см.
2. Для прилежащего катета используем косинус: cos 30° = b⁄10, поэтому b = 10 · √3⁄2 = 5√3 см.
3. Оба отношения выбраны относительно одного и того же угла, поэтому стороны не перепутаны.

Ответ: катеты равны 5 см и 5√3 см, то есть примерно 5 см и 8,66 см.

Два катета

Условие. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдём гипотенузу и острые углы. Пусть α лежит напротив катета 6 см.

1. По теореме Пифагора c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, значит c = 10 см.
2. Для угла α используем тангенс: tg α = 6⁄8 = 0,75, поэтому α ≈ 36,9°.
3. Второй острый угол β = 90° − 36,9° ≈ 53,1°.

Ответ: гипотенуза равна 10 см, острые углы примерно 36,9° и 53,1°. Проверка даёт 36,9° + 53,1° = 90°.

Лестница у стены

Условие. Лестница длиной 5 м образует с землёй угол 68° и касается вертикальной стены. Лестница является гипотенузой, высота по стене — противолежащий катет, а расстояние от стены до основания — прилежащий.

1. Высоту находим по синусу: sin 68° = h⁄5, поэтому h = 5 · sin 68° ≈ 4,64 м.
2. Расстояние до стены находим по косинусу: cos 68° = d⁄5, поэтому d = 5 · cos 68° ≈ 1,87 м.
3. Стороны соответствуют углу: высота напротив 68°, а расстояние до стены прилегает к нему.

Ответ: лестница касается стены на высоте примерно 4,64 м, а её основание находится примерно в 1,87 м от стены.

Типичные ошибки

Путают противолежащий и прилежащий катеты. Это происходит, когда стороны называют по длине, а не относительно выбранного угла. Выберите угол, проведите мысленно взгляд к сторонам и проверьте: напротив него находится противолежащий катет, рядом с ним — прилежащий.

Подставляют не ту сторону в синус или косинус. Часто сначала записывают формулу, не определив гипотенузу. Сначала найдите сторону напротив прямого угла, а затем проверьте, какой катет нужен для выбранного отношения.

Второй угол находят как 90° минус первый в любом треугольнике. Такое правило работает только для прямоугольного треугольника, потому что два его острых угла в сумме дают 90°. Убедитесь, что среди углов действительно есть прямой.

Слишком рано округляют или не проверяют результат. Потеря точности на промежуточном шаге может заметно изменить ответ. Сохраняйте несколько знаков, а затем проверьте стороны по теореме Пифагора и углы по их сумме.

Связь с другими темами

Для решения прямоугольных треугольников нужны теорема Пифагора, свойства прямоугольного треугольника и сумма углов треугольника. Эти знания объясняют, почему можно восстановить неизвестные элементы и проверить вычисления.

Тема продолжает изучение подобных треугольников и подготавливает к тригонометрии. Синус, косинус и тангенс применяют при вычислении расстояний, высот, длин склонов и других величин в геометрии и практических задачах.

Что запомнить

• Гипотенуза лежит напротив прямого угла.
• sin α — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• cos α — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• tg α — отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
• По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.