§ 18. Значения тригонометрических функций некоторых углов

Определения и обозначения

Синус угла α — отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника: sin α = противолежащий катет / гипотенуза. Противолежащим называют катет, который лежит напротив угла, а гипотенуза — сторона напротив прямого угла. Это отношение помогает найти сторону по известному углу и гипотенузе. Для углов 30°, 45° и 60° его точные значения находят из простых геометрических фигур.

Косинус угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Прилежащий катет образует угол вместе с гипотенузой и не является самой гипотенузой. Косинус нужен, чтобы выразить этот катет через гипотенузу или наоборот. Для углов, сумма которых равна 90°, значение косинуса одного угла совпадает со значением синуса другого.

Тангенс угла α — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg α = противолежащий катет / прилежащий катет. Поскольку синус и косинус содержат одну и ту же гипотенузу, деление синуса на косинус даёт это же отношение: tg α = sin α / cos α. Тангенс позволяет сравнить два катета, не учитывая длину гипотенузы. Формула применима, когда cos α не равен нулю.

Котангенс угла α — отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg α = прилежащий катет / противолежащий катет. Если разделить косинус на синус, гипотенуза в числителе и знаменателе сократится, поэтому ctg α = cos α / sin α. Котангенс показывает обратное по сравнению с тангенсом отношение катетов. Его формула имеет смысл, когда sin α не равен нулю.

Как это устроено

Возьмём равносторонний треугольник со стороной 2 и проведём из вершины высоту. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника, а основание — на отрезки длиной 1. Высота является вторым катетом, и по теореме Пифагора её длина равна √(2² − 1²) = √3. В каждом получившемся треугольнике гипотенуза равна 2: для угла 30° противолежащий катет равен 1, а для угла 60° — √3. Деление этих катетов на гипотенузу даёт sin 30° = ½ и sin 60° = √3/2; прилежащие катеты дают cos 30° = √3/2 и cos 60° = ½.

Теперь рассмотрим квадрат со стороной 1 и проведём его диагональ. Она делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника, причём острые углы каждого равны 45°, потому что диагональ делит прямой угол пополам. По теореме Пифагора диагональ равна √(1² + 1²) = √2 и служит гипотенузой каждого треугольника. Оба катета равны 1, поэтому и противолежащий, и прилежащий катеты при делении на гипотенузу дают 1/√2 = √2/2. Так получаем sin 45° = cos 45° = √2/2.

Тангенс и котангенс особых углов можно получить делением уже найденных синусов и косинусов. Например, tg 30° = (½)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3, а ctg 30° = (√3/2)/(½) = √3. Для 45° числитель и знаменатель в каждом отношении одинаковы, поэтому tg 45° = ctg 45° = 1. Для 60° отношения обратны отношениям при 30°: tg 60° = √3, ctg 60° = √3/3. При упрощении дробей с корнем в знаменателе умножают числитель и знаменатель на этот корень.

Углы 30° и 60° дополняют друг друга до 90°, и в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий одному из них, прилежит к другому. Поэтому sin 30° = cos 60°, а sin 60° = cos 30°. Это не случайное совпадение, а следствие определений функций через стороны одного треугольника. Такое правило удобно и для проверки таблицы: значения синуса и косинуса в парах 30° и 60° должны поменяться местами.

По определению тангенса синус делят на косинус, а по определению котангенса косинус делят на синус. Для угла 90° косинус равен нулю, поэтому tg 90° не существует; для угла 0° синус равен нулю, поэтому ctg 0° не существует. Нельзя приписывать этим выражениям значение ноль: деление на ноль не определено. При этом tg 0° = 0 и ctg 90° = 0, так как в этих случаях нулём является числитель, а знаменатель ненулевой.

Значения тригонометрических функций особых углов

Сначала найдите в таблице нужный угол, а затем прочитайте значение в столбце соответствующей функции. Если угол задан в радианах, пользуйтесь соседним столбцом: например, π/3 соответствует 60°. Значение «не определён» означает, что в формуле функции пришлось бы делить на ноль.

Разбор задач

Задача 1. Найти sin 30°, cos 60°, tg 45° и ctg 0°. Удобнее не выводить каждое отношение заново, а обратиться к таблице особых углов. Для котангенса при нуле отдельно проверим знаменатель формулы ctg α = cos α / sin α.

1. В строке 30° и столбце sin α находим sin 30° = ½.
2. В строке 60° и столбце cos α находим cos 60° = ½.
3. Для 45° таблица даёт tg 45° = 1.
4. Для ctg 0° формула требует делить cos 0° = 1 на sin 0° = 0. Деление на ноль невозможно, значит, ctg 0° не определён.

Ответ: sin 30° = ½, cos 60° = ½, tg 45° = 1, ctg 0° не определён. Обратите внимание: первые два значения равны, поскольку 30° и 60° — дополнительные углы. Последний результат нельзя записывать как ноль, так как здесь нулевой знаменатель.

Задача 2. Вычислить 2 sin 30° + cos 60° − tg 45°. В выражении все углы особые, поэтому заменим функции точными табличными значениями. Затем сначала выполним умножение, а после сложим и вычтем полученные числа.

1. Подставляем: 2 · ½ + ½ − 1.
2. Выполняем умножение: 2 · ½ = 1, поэтому выражение становится 1 + ½ − 1.
3. Сокращаем противоположные слагаемые 1 и −1. Остаётся ½.

Ответ: ½. Здесь не понадобились приближённые десятичные значения: все числа по таблице точные. Если бы корни входили в выражение, их также стоило бы оставить в точном виде до конца вычислений.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 30°, а гипотенуза — 12 см. Найти длины катетов. Катет напротив угла 30° выражается через синус, а второй катет, прилежащий к этому углу, — через косинус. Так мы используем оба отношения, в которых известна гипотенуза.

1. Обозначим противолежащий катет через a. По определению sin 30° = a/12, поэтому a = 12 · ½ = 6 см.
2. Обозначим прилежащий катет через b. Так как cos 30° = b/12, получаем b = 12 · √3/2 = 6√3 см.
3. Проверим ответ по теореме Пифагора: 6² + (6√3)² = 36 + 108 = 144 = 12². Квадрат гипотенузы совпал с суммой квадратов катетов.

Ответ: катеты равны 6 см и 6√3 см. Катет напротив меньшего угла оказался короче, что соответствует расположению сторон в треугольнике. Проверка по теореме Пифагора подтверждает вычисления.

Типичные ошибки

Первая ошибка — поменять местами значения синуса и косинуса для 30° и 60°. Она возникает, если запоминать отдельные числа без связи с геометрией. Проверьте, что sin 30° = cos 60° = ½, а sin 60° = cos 30° = √3/2: у дополнительных углов значения меняются местами.

Вторая ошибка — вычислять тангенс как cos α / sin α. Это отношение задаёт котангенс, а тангенс равен tg α = sin α / cos α. Ошибку легко обнаружить на угле 30°: tg 30° должен быть меньше 1, поскольку противолежащий катет короче прилежащего, и правильный ответ — √3/3.

Третья ошибка — считать tg 90° или ctg 0° равными нулю. В первом случае знаменатель cos 90° равен нулю, во втором sin 0° равен нулю, поэтому обе функции не определены. Перед вычислением проверяйте знаменатель формулы: нулевой числитель даёт ноль только при ненулевом знаменателе.

Четвёртая ошибка — рано округлять √2 и √3 до десятичных приближений. При нескольких действиях округления накапливаются и могут изменить результат, особенно если требуется точный ответ. Сохраняйте корни и дроби до конца, а приближённое значение записывайте только тогда, когда его прямо просят.

Связь с другими темами

Для этой темы понадобятся определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора нужна, чтобы найти высоту равностороннего треугольника и диагональ квадрата, а затем получить точные отношения сторон. Значения 30°, 45° и 60° помогают решать прямоугольные треугольники и упрощать выражения с тригонометрическими функциями. Позже таблица станет опорой при изучении тождеств и функций углов произвольной величины.

Что запомнить

• sin 30° = ½, cos 30° = √3/2.
• sin 45° = cos 45° = √2/2.
• sin 60° = √3/2, cos 60° = ½.
• tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0.
• ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0.
• Для дополнительных углов синус одного равен косинусу другого.
• Точные табличные значения лучше не заменять приближёнными десятичными.