"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Тригонометрические тождества — равенства, которые верны при всех допустимых значениях угла. Главное из них связывает синус и косинус: sin² α + cos² α = 1. Из него получают формулы для тангенса и котангенса, а затем используют их, чтобы находить неизвестные значения и упрощать выражения. При преобразованиях нужно следить за знаменателями: делить на синус или косинус можно только тогда, когда соответствующее значение не равно нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тригонометрическое тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях угла. Допустимыми называют те значения, при которых все входящие в запись выражения определены. Например, дробь с синусом в знаменателе нельзя рассматривать при нулевом синусе. Тождества помогают заменять одно выражение другим, не меняя его значения.
Основное тригонометрическое тождество — равенство sin² α + cos² α = 1, связывающее синус и косинус одного угла. Запись sin² α означает квадрат числа sin α, а не синус угла 2α. Синус и косинус можно понимать как координаты точки на единичной окружности: косинус — первая координата, синус — вторая. Это тождество позволяет находить одну из этих величин, если известна другая.
Тангенс угла — отношение синуса этого угла к его косинусу: tg α = sin α / cos α. Он определён только при cos α ≠ 0, поскольку деление на ноль невозможно. Поэтому нельзя вычислить тангенс углов, у которых косинус равен нулю. Отношение удобно тем, что выражает связь синуса и косинуса одним числом.
Котангенс угла — отношение косинуса к синусу: ctg α = cos α / sin α. Он определён при sin α ≠ 0, иначе знаменатель обращается в ноль. Тангенс и котангенс используют те же две величины, но порядок в дроби у них противоположный. Это помогает быстро проверить, не перепутаны ли формулы.
Возьмём точку на единичной окружности, соответствующую углу α. По определению её координаты равны (cos α; sin α), а единичная окружность имеет уравнение x² + y² = 1. Подставим в это уравнение координаты точки: cos² α + sin² α = 1. Так получается основное тождество, причём оно верно для любого угла, потому что любая точка окружности удовлетворяет её уравнению.
Определения тангенса и котангенса связывают эти функции с синусом и косинусом: tg α = sin α / cos α, а ctg α = cos α / sin α. Эти отношения можно использовать, если знаменатель не равен нулю. У тангенса знаменатель — косинус, поэтому требуется cos α ≠ 0; у котангенса знаменатель — синус, поэтому требуется sin α ≠ 0. Ограничения появляются не из отдельного правила тригонометрии, а из обычного запрета делить на ноль.
Разделим равенство sin² α + cos² α = 1 на cos² α. Это разрешено только при cos α ≠ 0; тогда sin² α / cos² α + 1 = 1 / cos² α. Дробь sin² α / cos² α равна квадрату отношения sin α / cos α, то есть tg² α. Поэтому получаем 1 + tg² α = 1 / cos² α, причём условие на косинус сохраняется.
Теперь разделим основное тождество на sin² α, предполагая, что sin α ≠ 0. Получим sin² α / sin² α + cos² α / sin² α = 1 / sin² α. Первая дробь равна единице, а вторая — ctg² α, потому что ctg α = cos α / sin α. Значит, 1 + ctg² α = 1 / sin² α; без условия на синус деление было бы недопустимым.
Перемножим определения тангенса и котангенса: (sin α / cos α) · (cos α / sin α). При sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0 одинаковые множители можно сократить, и остаётся 1. Следовательно, tg α · ctg α = 1 только там, где определены обе функции. Это ограничение важно: если один из знаменателей равен нулю, исходное произведение записать нельзя.
| Тождество | Условие |
|---|---|
| sin² α + cos² α = 1 | Верно при любом α |
| tg α = sin α / cos α | cos α ≠ 0 |
| ctg α = cos α / sin α | sin α ≠ 0 |
| 1 + tg² α = 1 / cos² α | cos α ≠ 0 |
| 1 + ctg² α = 1 / sin² α | sin α ≠ 0 |
| tg α · ctg α = 1 | sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0 |
Сначала найдите нужное равенство в левом столбце, а затем проверьте условие в правом. Особенно внимательно проверяйте знаменатели, если в формуле есть дробь или тангенс с котангенсом. Основное тождество можно применять при любом угле.
Известен синус, а найти нужно косинус, поэтому начнём с основного тождества. После подстановки получится уравнение для квадрата косинуса, а при извлечении корня возникнут два возможных знака. Условие об остром угле поможет выбрать правильный вариант.
Ответ: cos α = 4/5. Если бы четверть угла не была указана, по одному значению sin α нельзя было бы выбрать знак косинуса. Здесь знак определён именно условием задачи.
В выражении есть тангенс, но отдельно его значение не дано. Вместо вычисления тангенса используем тождество, в правой части которого стоит известный косинус. Проверим также условие применения: заданный косинус не равен нулю.
Ответ: 9/4. Условие выполнено, так как 2/3 ≠ 0. Благодаря тождеству не потребовалось отдельно находить угол или значение тангенса.
В числителе стоит разность 1 − cos² α, а основное тождество позволяет заменить её квадратом синуса. После замены можно сократить дробь, но только с учётом данного в задаче условия. Оно как раз гарантирует, что знаменатель не равен нулю.
Ответ: sin α. Если бы условие sin α ≠ 0 отсутствовало, сокращение требовало бы отдельной проверки допустимых значений. В данном случае оно дано, поэтому преобразование корректно.
Записывают tg α = sin α / cos α, не указывая, что cos α ≠ 0. Обычно забывают условие, потому что помнят саму формулу, но не проверяют знаменатель. Чтобы проверить себя, найдите делитель в определении: он не должен быть нулём, а значит, тангенс при нулевом косинусе не определён.
Из равенства sin² α = 1 − cos² α иногда сразу записывают sin α = √(1 − cos² α). Так теряется возможность отрицательного синуса: при возведении в квадрат знак исчезает. Корректная запись при извлечении корня — sin α = ±√(1 − cos² α); затем знак выбирают по четверти или другим данным об угле.
В формулах тангенса и котангенса могут поменять местами синус и косинус. Такое происходит, когда обе дроби запоминают как «отношение двух функций», не удерживая порядок. Сверьте запись с определениями: у тангенса сверху синус, у котангенса сверху косинус; после этого проверьте допустимость знаменателя.
При упрощении сокращают дробь на sin α или cos α, не проверив, может ли эта величина быть нулём. Сокращение — это деление на общий множитель, а делить на ноль нельзя. Перед таким шагом запишите условие: sin α ≠ 0 или cos α ≠ 0; если оно не дано, рассмотрите отдельно значения, при которых множитель обращается в ноль.
Для работы с тождествами нужны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также представление о единичной окружности. Координаты точки на ней объясняют связь синуса и косинуса, а определения тангенса и котангенса дают отношения этих величин. Полученные формулы пригодятся при упрощении выражений и вычислении неизвестных тригонометрических значений. Эти преобразования подготавливают к изучению тригонометрических выражений и решению тригонометрических уравнений.
Почему sin² α + cos² α равно единице?
На единичной окружности точка, соответствующая углу α, имеет координаты (cos α; sin α). Любая такая точка лежит на окружности радиуса 1, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению x² + y² = 1. Подстановка координат даёт sin² α + cos² α = 1.
Когда нельзя вычислить тангенс угла?
Тангенс определён, только если cos α ≠ 0, потому что tg α = sin α / cos α. Косинус равен нулю при α = π/2 + πk, где k — целое число. Для таких углов деление невозможно.
Как получить формулу 1 + tg² α = 1 / cos² α?
Нужно разделить обе части равенства sin² α + cos² α = 1 на cos² α. При cos α ≠ 0 получим sin² α / cos² α + 1 = 1 / cos² α, а первая дробь равна tg² α. Поэтому выходит нужная формула.
Почему при извлечении корня может понадобиться знак ±?
Из равенства sin² α = 1 − cos² α следует, что sin α = ±√(1 − cos² α). Возведение в квадрат убирает знак числа, поэтому по одному квадрату нельзя определить, положителен синус или отрицателен. Знак выбирают с учётом четверти, в которой находится угол.
Можно ли сократить выражение на синус или косинус?
Можно, только если сокращаемая величина не равна нулю. Например, при сокращении на sin α необходимо отдельно указать условие sin α ≠ 0. Иначе преобразование может исключить допустимое значение или привести к делению на ноль.
§ 19. Некоторые тригонометрические тождества
