§ 18. Решение прямоугольных треугольников

Определения и обозначения

Решение прямоугольного треугольника — нахождение неизвестных сторон и острых углов по заданным элементам. Иначе говоря, нужно восстановить весь треугольник, зная лишь часть его величин. Это помогает решать задачи, где требуется определить недоступную длину или угол.

Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащим называют катет, который находится напротив выбранного угла. Синус связывает величину угла с длиной стороны напротив него.

Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащий катет образует выбранный острый угол вместе с гипотенузой. Косинус используют, когда известна или нужна именно эта сторона.

Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему. Здесь сравниваются два катета, а гипотенуза не участвует. Тангенс удобен, когда нужно найти один катет по другому и известному углу.

Как это устроено

Названия катетов зависят от того, какой острый угол выбран: один и тот же катет может быть прилежащим к одному углу и противолежащим к другому. Прилежащий катет касается выбранного угла и не является гипотенузой, а противолежащий находится напротив него. Гипотенуза всегда одна и всегда лежит напротив прямого угла. Поэтому перед записью отношения полезно указать, к какому углу оно относится.

Синус, косинус и тангенс описывают постоянные отношения сторон для каждого данного острого угла. Если угол не меняется, то отношение противолежащего катета к гипотенузе тоже не меняется, даже если треугольник увеличить или уменьшить. Так появляется возможность по известному углу и одной стороне определить другую. Выбирают отношение по сторонам, которые уже известны и которые требуется найти.

Теорема Пифагора связывает длины трёх сторон: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть c² = a² + b². Если неизвестна гипотенуза, складывают квадраты катетов и извлекают корень. Если неизвестен катет, из квадрата гипотенузы вычитают квадрат второго катета и также извлекают корень. Это позволяет найти сторону без знания острых углов.

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, а сумма всех углов равна 180°. Поэтому два оставшихся, острых, угла вместе составляют 90°. Если один из них уже найден, второй вычисляют вычитанием из 90°, а не определяют заново по сторонам. Это также помогает проверить результат.

Начинайте решение с перечня известных и искомых величин. Две известные стороны обычно позволяют применить теорему Пифагора, а известный острый угол подсказывает использовать тригонометрическое отношение. Если требуется второй острый угол, достаточно свойства суммы углов. После вычислений проверьте, подходит ли ответ по смыслу: например, гипотенуза не должна оказаться короче катета.

Основные зависимости для решения прямоугольного треугольника

В таблице a и b — катеты, c — гипотенуза, α и β — острые углы. Сначала выберите строку, соответствующую известным величинам, и убедитесь, что стороны названы относительно нужного угла. Если при вычислении угла используется обратная тригонометрическая функция на калькуляторе, проверьте, что выбран режим градусов.

Разбор задач

Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу. Искомая сторона лежит напротив прямого угла, а значит, для её нахождения подходит теорема Пифагора. Складываем квадраты известных катетов.

1. Обозначим гипотенузу через c и запишем: c² = 6² + 8².
2. Вычислим: c² = 36 + 64 = 100, поэтому c = √100 = 10 см.
3. Проверим порядок сторон: 10 см больше каждого катета, значит, результат возможен.

Ответ: 10 см.

Задача 2. Гипотенуза равна 10 см, один катет — 6 см. Найдите второй катет и острые углы. Сначала найдём недостающую сторону: так мы получим прямоугольный треугольник со всеми известными сторонами. Затем отношение стороны к гипотенузе позволит определить один угол, а другой найдём через 90°.

1. Пусть второй катет равен b. Тогда b² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, значит, b = 8 см.
2. Угол α напротив катета 6 см: sin α = 6 / 10 = 0,6. По таблице или калькулятору α ≈ 36,9°.
3. Второй угол β = 90° − 36,9° = 53,1°. Проверка: 6² + 8² = 10².

Ответ: второй катет 8 см, острые углы примерно 36,9° и 53,1°.

Задача 3. Катет напротив угла 35° равен 7 см. Найдите гипотенузу, второй катет и оба острых угла. Для гипотенузы подходят известные противолежащий катет и угол, поэтому начнём с синуса. После этого можно использовать тангенс для второго катета и проверить округлённые значения по теореме Пифагора.

1. По формуле sin 35° = 7 / c получаем c = 7 / sin 35° ≈ 12,2 см.
2. Прилежащий катет b = 7 / tg 35° ≈ 10,0 см. Здесь тангенс связывает два катета относительно угла 35°.
3. Второй острый угол равен 90° − 35° = 55°. Проверка: 7² + 10² ≈ 149, а 12,2² ≈ 149; небольшая разница связана с округлением.

Ответ: гипотенуза примерно 12,2 см, второй катет примерно 10,0 см, острые углы 35° и 55°.

Типичные ошибки

Противолежащий и прилежащий катеты путают, если называют их без указания выбранного угла. Эти названия не закреплены за конкретными сторонами: при переходе к другому острому углу они меняются местами. Перед решением отметьте угол и определите положение обеих сторон относительно него. Проверка простая: прилежащий катет касается этого угла, а противолежащий — нет.

Иногда синус записывают как отношение прилежащего катета к гипотенузе, то есть подменяют косинусом. Такая ошибка возникает, когда названия функций запоминают, не связывая их с расположением сторон. Сверяйтесь с определениями: синус — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий к гипотенузе. Подстановка сторон в выбранную формулу должна соответствовать рисунку или описанию задачи.

Гипотенузу могут принять за любой длинный катет или получить короче катета. Это происходит, если не определить сторону напротив прямого угла либо перепутать сложение и вычитание в теореме Пифагора. Сначала отметьте прямой угол: противоположная ему сторона и есть гипотенуза. После вычислений сравните длины — гипотенуза должна быть самой длинной.

Два острых угла иногда находят независимо, и из-за вычислительной ошибки или округления их сумма оказывается не равна 90°. Не округляйте промежуточные значения слишком рано и второй угол находите как 90° минус первый. В конце сложите углы: результат должен быть близок к 90°, с учётом округления. Так ошибка станет заметна до записи ответа.

Связь с другими темами

Перед решением таких задач нужны знания о видах треугольников, теореме Пифагора и сумме углов треугольника. Также важно уметь находить синус, косинус и тангенс острого угла. Эти понятия дают формулы, которыми связывают стороны и углы.

Методы помогают вычислять расстояния и высоты, которые нельзя измерить напрямую: например, высоту объекта или ширину препятствия. В задаче измеряют доступные величины и строят прямоугольный треугольник. Затем неизвестную сторону находят по известным сторонам или углу.

Дальше те же способы применяют при изучении подобных фигур, окружности и геометрических измерений на практике. Они позволяют переходить от простых треугольников к более сложным конфигурациям. Поэтому полезно не только запомнить формулы, но и научиться выбирать нужную.

Что запомнить

• В прямоугольном треугольнике гипотенуза лежит напротив прямого угла.
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
• Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
• Для решения нужно выбрать формулу, связывающую известные и искомые элементы.