"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Решение прямоугольного треугольника — это нахождение неизвестных сторон и острых углов по известным элементам. Для этого используют теорему Пифагора, сумму острых углов и тригонометрические отношения: синус, косинус и тангенс. Главное — правильно определить гипотенузу и катеты относительно выбранного угла, подобрать подходящую формулу и проверить результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = a / c. Противолежащий катет находится напротив выбранного угла, а гипотенуза — напротив прямого угла. Синус помогает связать угол, катет и гипотенузу.
Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = b / c. Прилежащий катет образует сторону выбранного угла, но не является гипотенузой. Косинус используют, когда известны или нужны угол, гипотенуза и прилежащий катет.
Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg α = a / b. В этой дроби гипотенуза не участвует. Тангенс удобен для нахождения угла или одного катета, если известен другой катет.
Решение прямоугольного треугольника — нахождение его неизвестных сторон и острых углов по заданным элементам. Для этого применяют теорему Пифагора, сумму углов треугольника и тригонометрические отношения. Цель решения — получить полный набор нужных величин и проверить их согласованность.
Чтобы определить стороны относительно угла α, сначала найдите прямой угол: сторона напротив него является гипотенузой. Из двух оставшихся сторон та, что лежит напротив α, — противолежащий катет. Другая сторона, образующая угол α, — прилежащий катет. Поэтому название катета зависит не от его положения на листе, а от выбранного угла.
Прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны: у них равны два угла, а значит, равны соответствующие отношения сторон. При увеличении треугольника все его стороны умножаются на один и тот же коэффициент. Поэтому, например, отношение противолежащего катета к гипотенузе не меняется и зависит только от величины угла.
Определения сразу дают формулы для вычислений. Из sin α = a / c получаем a = c sin α и c = a / sin α. Из cos α = b / c получаем b = c cos α и c = b / cos α, а из tg α = a / b — a = b tg α и b = a / tg α. Буквы a и b обозначают катеты, c — гипотенузу.
Синус и косинус одного угла связаны равенством sin² α + cos² α = 1, потому что после подстановки их дробей получается теорема Пифагора. Тангенс можно выразить через них: tg α = sin α / cos α. Эти равенства помогают обнаружить ошибку в вычислениях и получить недостающую величину другим способом.
Способ решения выбирают по данным условия. Два известных катета или гипотенуза и катет позволяют применить теорему Пифагора, а один известный острый угол даёт второй как 90° − α. Если известны угол и сторона, выбирают синус, косинус или тангенс по участвующим сторонам.
| Что нужно найти | Синус острого угла | Косинус острого угла | Тангенс острого угла |
|---|---|---|---|
| Определение через стороны | sin α = a / c | cos α = b / c | tg α = a / b |
| Формула для нахождения противолежащего катета | a = c sin α | a = c√(1 − cos² α) | a = b tg α |
| Формула для нахождения прилежащего катета | b = c√(1 − sin² α) | b = c cos α | b = a / tg α |
| Формула для нахождения гипотенузы | c = a / sin α | c = b / cos α | c = √(a² + b²) |
| Как найти острый угол | По значению sin α в таблицах или калькуляторе | По значению cos α в таблицах или калькуляторе | По значению tg α в таблицах или калькуляторе |
| Какие стороны должны быть известны | Противолежащий катет и гипотенуза | Прилежащий катет и гипотенуза | Оба катета |
Сначала выберите строку с искомой величиной, затем столбец, соответствующий известным сторонам и углу. Формула должна содержать только известные данные и одну искомую величину. Если в таблице используется корень или теорема Пифагора, после вычисления полезно выполнить независимую проверку.
Известны оба катета, поэтому сначала найдём гипотенузу по теореме Пифагора. Затем выберем угол, напротив которого лежит катет 6 см, и используем синус. Второй острый угол получим как дополнение первого до 90°.
Ответ: гипотенуза равна 10 см, острые углы примерно равны 36,9° и 53,1°. Проверка: 10² = 6² + 8², значит, длины сторон согласуются с теоремой Пифагора.
Пусть α = 30°, гипотенуза c = 10 см. Катет напротив угла найдём через синус, а прилежащий катет — через косинус. Так мы используем одну и ту же известную гипотенузу и не путаем положение катетов.
Ответ: катеты равны 5 см и 5√3 см, то есть примерно 8,66 см. Второй острый угол при необходимости равен 60°, поскольку сумма острых углов составляет 90°.
Для угла α прилежащий катет равен 7 см, а противолежащий — 12 см. Сначала найдём этот угол через тангенс, затем гипотенузу по теореме Пифагора. Оставшийся угол определим по сумме острых углов.
Ответ: гипотенуза равна √193 см, примерно 13,9 см, а острые углы — около 59,7° и 30,3°. Гипотенуза получилась больше каждого катета, поэтому результат имеет смысл.
Путаница катетов. Ученик называет сторону прилежащей или противолежащей по её месту на рисунке, не выбрав угол. Такая ошибка возникает, если забыть, что названия меняются при выборе другого острого угла. Нужно провести взгляд от выбранного угла: напротив него будет противолежащий катет.
Катет принимают за гипотенузу. В синус или косинус подставляют длинную сторону, хотя она может быть катетом. Гипотенуза определяется только положением напротив прямого угла, а не просто длиной. Проверьте, что она самая длинная и стоит в знаменателе нужного отношения.
Неверно выбирают тангенс. Тангенс применяют, когда нужны отношения двух катетов, но иногда в условии известны только угол и гипотенуза. Тогда в формуле остаётся лишняя неизвестная величина. Сначала выпишите, какие две стороны связывает каждый способ.
Ошибаются со вторым углом. После нахождения одного острого угла иногда снова записывают то же значение или вычитают его из 180°. В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90°. Округлять нужно в самом конце и проверить, что полученные углы действительно дают примерно 90°.
Для решения нужны свойства прямоугольного треугольника, теорема Пифагора, сумма углов треугольника и подобие. Подобие объясняет, почему тригонометрические отношения определяются углом, а не размером фигуры. Эти знания позволяют переходить от геометрических свойств к вычислениям.
Тема продолжает изучение метрических соотношений в прямоугольном треугольнике. Полученные способы применяют в задачах на расстояния, высоты и недоступные измерения. Например, по углу возвышения и одной длине можно вычислить высоту объекта.
Синус, косинус и тангенс станут основой дальнейшего изучения тригонометрии. Они используются в координатном методе и физических задачах, где величину раскладывают по направлениям. Поэтому умение правильно выбрать отношение пригодится далеко за пределами геометрии.
Как понять, какой катет является прилежащим к выбранному углу?
Мысленно смотрите на выбранный острый угол. Катет, который образует одну из его сторон, является прилежащим, а катет напротив угла — противолежащим. Гипотенуза в любом случае лежит напротив прямого угла.
Почему для нахождения катета нельзя всегда использовать теорему Пифагора?
Теорема Пифагора требует знать гипотенузу и один катет либо оба катета. Если известны угол и сторона, удобнее применить синус, косинус или тангенс. Так неизвестную сторону можно найти сразу.
Как выбрать между синусом, косинусом и тангенсом?
Посмотрите, какие стороны известны и какую сторону нужно найти. Синус связывает противолежащий катет с гипотенузой, косинус — прилежащий катет с гипотенузой, тангенс — два катета.
Можно ли найти оба острых угла, если известен только один из них?
Да. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°. Поэтому второй угол находят вычитанием известного угла из 90°.
Как проверить, правильно ли найден неизвестный угол или сторона?
Стороны можно проверить по теореме Пифагора, а углы — по их сумме. Кроме того, гипотенуза должна быть самой длинной стороной, а значения синуса и косинуса острого угла должны находиться между 0 и 1.
§ 18. Решение прямоугольных треугольников
