"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Тригонометрические функции связывают величину острого угла прямоугольного треугольника с отношениями его сторон. Синус и косинус сравнивают катеты с гипотенузой, а тангенс и котангенс — два катета между собой. Эти отношения не зависят от размера треугольника, поэтому по известному углу и одной стороне можно находить другие стороны, высоты и расстояния.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = противолежащий катет / гипотенуза. Противолежащий катет находится напротив выбранного угла. Синус нужен, когда известны или требуется связать катет и гипотенузу.
Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Прилежащий катет образует одну из сторон выбранного угла, но не является гипотенузой. Косинус помогает находить связь между углом, прилежащим катетом и гипотенузой.
Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg α = противолежащий катет / прилежащий катет. В этой формуле гипотенуза не участвует. Тангенс удобен, когда сравниваются два катета.
Котангенс острого угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg α = прилежащий катет / противолежащий катет. Это отношение, обратное тангенсу того же угла. Котангенс используют, если первым записывают прилежащий катет.
Отношения сторон зависят только от величины угла, потому что прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны. При увеличении треугольника в несколько раз все его стороны увеличиваются во столько же раз. Поэтому, например, отношение противолежащего катета к гипотенузе остаётся прежним, хотя сами длины меняются.
Чтобы различить катеты, сначала выберите угол, о котором идёт речь. Противолежащий катет не имеет общей стороны с этим углом и находится напротив него. Прилежащий катет имеет с углом общую сторону; второй его конец соединён с вершиной прямого угла.
Основные функции одного угла связаны между собой. Если разделить sin α = противолежащий катет / гипотенуза на cos α = прилежащий катет / гипотенуза, гипотенуза сократится, и получится tg α = sin α / cos α. Аналогично cos α / sin α = ctg α.
Синус и косинус острого угла меньше единицы, потому что каждый катет короче гипотенузы. Они больше нуля, поэтому 0 < sin α < 1 и 0 < cos α < 1. Тангенс и котангенс сравнивают катеты, а один катет может быть длиннее другого, поэтому эти значения могут быть и меньше, и больше единицы.
Пусть α и β — два острых угла одного прямоугольного треугольника. Их сумма равна 90°, а противолежащий катет для α становится прилежащим для β. Поэтому sin α = cos β, а tg α = ctg β; аналогично sin β = cos α.
| Характеристика | sin α | cos α | tg α | ctg α |
|---|---|---|---|---|
| Определение через стороны треугольника | Противолежащий катет / гипотенуза | Прилежащий катет / гипотенуза | Противолежащий катет / прилежащий катет | Прилежащий катет / противолежащий катет |
| Область значений для острого угла | 0 < sin α < 1 | 0 < cos α < 1 | Больше 0, может быть больше 1 | Больше 0, может быть больше 1 |
| Связь с другими функциями | sin α = tg α · cos α | cos α = sin α / tg α | tg α = sin α / cos α | ctg α = cos α / sin α |
| Какие стороны нужно знать для вычисления | Противолежащий катет и гипотенузу | Прилежащий катет и гипотенузу | Оба катета | Оба катета |
Сначала найдите в условии выбранный угол и подпишите относительно него катеты. Затем выберите столбец с нужной функцией и подставьте соответствующие стороны.
Если нужной стороны нет, её можно найти по теореме Пифагора или через уже известное значение функции. Так таблица превращается в краткий алгоритм решения.
Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдём функции угла, противолежащего катету 3 см. Значит, прилежащий катет равен 4 см.
Задача 2. Известно, что tg α = 3/4, а прилежащий катет равен 8 см. Требуется найти противолежащий катет и гипотенузу.
Задача 3. Гипотенуза равна 10 см, sin α = 0,6. Найдём оба катета и остальные функции.
Путать противолежащий и прилежащий катеты. Их названия зависят от выбранного угла, поэтому один и тот же катет меняет роль при переходе к другому углу. Проверьте себя: есть ли у катета общая сторона с углом.
Делить катет на катет в синусе или косинусе. Такую ошибку допускают, забывая, что обе эти функции сравнивают катет с гипотенузой. Проверьте знаменатель: в формулах sin и cos всегда стоит гипотенуза.
Менять местами числитель и знаменатель в тангенсе и котангенсе. Тангенс начинается с противолежащего катета, а котангенс — с прилежащего. Полезная проверка: tg α · ctg α = 1.
Считать значения одинаковыми для разных острых углов. При смене угла катеты меняются местами, поэтому обычно меняются и функции. Сравните, какой катет стал противолежащим, а какой — прилежащим.
Перед изучением темы нужны знания о видах треугольников, элементах прямоугольного треугольника, теореме Пифагора и отношениях величин. Без этого трудно правильно определить стороны и восстановить неизвестную длину.
Тригонометрические функции помогают решать прямоугольные треугольники, находить высоты, расстояния и недоступные длины. В старших классах эти понятия станут основой изучения тригонометрии и функций.
Как быстро определить, какой катет является прилежащим к углу?
Сначала отметьте выбранный острый угол. Катет, который образует с ним одну из сторон угла, является прилежащим; другой катет, лежащий напротив угла, — противолежащим.
Почему гипотенуза всегда входит в определения синуса и косинуса?
Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла, и самая длинная сторона треугольника. Синус и косинус показывают, какую долю гипотенузы составляет соответствующий катет.
Может ли тангенс острого угла быть больше единицы?
Да. Тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему, поэтому он больше 1, если противолежащий катет длиннее прилежащего.
Как выбрать нужную тригонометрическую функцию при решении задачи?
Определите, какие стороны известны или нужны, и сравните их положение с выбранным углом. Два катета дают тангенс или котангенс, а катет и гипотенуза — синус или косинус.
Почему синус одного острого угла равен косинусу другого?
Два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают 90°. Противолежащий катет одного угла является прилежащим для другого, поэтому отношения к гипотенузе совпадают.
§ 17. Тригонометрические функции острот угла прямоугольного треугольника
